suma silnia, indukcja matematyczna

[nadro0404]

Hej, nie bardzo mam pojęcie jak się zabrać za wykazanie własności tego symbolu Newtona, k i n są naturalne. Proszę o pomoc.
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} = 2^{n}}\)

[a4karo]

Wsk. \(\displaystyle{ (1+1)=2}\)

[Jan Kraszewski]

To zależy, z czego możesz korzystać.

Najprostsza chyba wersja korzysta z dwumianu Newtona:

\(\displaystyle{ 2^n=(1+1)^n=...}\)

JK

[Premislav]

Indukcją [wspomniana w tytule wątku] No niby można, choć nie jest to najwygodniejsza metoda. W kroku indukcyjnym odnotujmy, że
\(\displaystyle{ {n\choose k}+{n \choose k+1}={n+1\choose k+1}}\)
i dodajmy takie równości stronami dla \(\displaystyle{ k=0,1,\ldots n}\).
Otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}{n \choose k}+ \sum_{k=0}^{n}{n \choose k+1}= \sum_{k=0}^{n}{n+1\choose k+1}}\), czyli po przesunięciu indeksów
\(\displaystyle{ 2 \sum_{k=0}^{n} {n \choose k}-{n \choose 0}=\sum_{k=0}^{n+1}{n+1\choose k} -{n+1\choose 0}}\)
a oczywiście \(\displaystyle{ {n\choose 0}={n+1\choose 0}=1}\).