Okrągły stół - prawdopodobieństwo

[MrCommando]

Przy okrągłym stole sadzamy n małżeństw, na przemian kobietę i mężczyznę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że żadne małżeństwo nie będzie siedziało obok siebie?

To zadanie już się kiedyś pojawiło na forum jak zauważyłem 208100.htm, nawet został podany link do skryptu, w którym jest jego rozwiązanie. No niestety ten link nie działa.

Generalnie liczba rozsadzeń takich, żeby dokładnie \(\displaystyle{ k}\) małżeństw siedziało obok siebie to \(\displaystyle{ 2n {2n - k - 1 choose k -1} left( k - 1
ight)! left(n -k
ight)! left(n -k
ight)!}\), nie mam jednak pojęcia skąd się wzięło tutaj \(\displaystyle{ 2n {2n - k - 1 choose k -1} left( k - 1
ight)!}\). Jakieś wskazówki?

[janusz47]

Jest to zadanie matematyka francuskiego Eduarda Lucasa, pochodzące z jego słynnej książki Recreations Mathematiques (1891).

Elementarne rozwiązanie tego zadania znajduje się w w książce osiągalnej w internecie

Heinrich Dorie. 100 Great Problems Elementary Mathematics . New York Dover Publication.

Eleganckie ścisłe rozwiązanie zadania - oparte na rachunku kombinatorycznym można znaleźć w cytowanym już wykładzie nr 6 Matematyki Dyskretnej Prof. Bogdana Chlebusa z Uniwersytetu Warszawskiego.