Bolek i Lolek

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Bolek i Lolek

Post autor: max123321 »

Bolek i Lolek grają w bierki do momentu gdy jeden z nich wygra dwie partie pod rząd. Prawdopodobieństwo, że Bolek wygra pierwszą partię wynosi \(\displaystyle{ 1/2}\), ale począwszy od drugiej partii, prawdopodobieństwo wygranej Bolka zależy od tego, czy wygrał poprzednią partię. Jeśli dopiero co odniósł sukces, czuje się pewnie i wygrywa z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 3/4}\), jeśli poprzednia partia zakończyła się jego przegraną zżera go trema i wygrywa z mniejszym prawdopodobieństwem, równym \(\displaystyle{ 1/3}\). Jakie jest prawdopodobieństwo, że Bolek wygra całą rozgrywkę?

Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:

Prawdopodobieństwo, że Bolek wygra w dwóch turach wynosi \(\displaystyle{ 1/2 \cdot 3/4}\). Prawdopodobieństwo, że wygra w trzech wynosi \(\displaystyle{ 1/2 \cdot 1/3 \cdot 3/4}\). Prawdopodobieństwo, że w czterech wynosi \(\displaystyle{ 1/2 \cdot 1/4 \cdot 1/3 \cdot 3/4}\). Prawdopodobieństwo, odpowiednio, że w pięciu lub sześciu wynosi \(\displaystyle{ 1/2 \cdot 1/3 \cdot 1/4 \cdot 1/3 \cdot 3/4}\) i \(\displaystyle{ 1/2 \cdot 1/4 \cdot 1/3 \cdot 1/4 \cdot 1/3 \cdot 3/4}\) i tak dalej. Innych możliwości nie ma bo zauważmy, że jeśli Bolek ma wygrać w parzystej ilości parti to Bolek musi wygrać pierwszą partię, dalej wygrywają na przemian, a dwie ostatnie musi wygrać Bolek i analogicznie jeśli Bolek wygrywa w nieparzystej ilości partii to pierwszą partię musi wygrać Lolek. Zatem prawdopodobieństwo, że gra zakończy się zwycięstwem Bolka w parzystej liczbie partii \(\displaystyle{ 2n}\) wynosi \(\displaystyle{ 1/2 \cdot 3/4 \cdot \left( 1/12\right)^{n-1}}\), a jeśli w nieparzystej \(\displaystyle{ 2n+1}\) wynosi \(\displaystyle{ 1/2 \cdot 3/4 \cdot \left( 1/3\right)^n \cdot \left( 1/4\right)^{n-1}=1/2 \cdot 3/4 \cdot (1/12)^n \cdot 4}\). Zatem prawdopodobieństwo zwycięstwa Bolka w całej rozgrywce będzie sumą dwóch szeregów nieskończonych: \(\displaystyle{ P(B)= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}\left( \frac{1}{12} \right)^{n-1}+ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}\left( \frac{1}{12} \right)^{n} \cdot 4= \frac{3}{8}\left( \sum_{n=1}^{\infty}( \frac{1}{12})^{n-1}+4 \sum_{n=1}^{\infty}\left( \frac{1}{12} \right)^n \right)=}\)
\(\displaystyle{ \frac{3}{8}\left( 1 \cdot \frac{1}{1- \frac{1}{12} }+4 \cdot \frac{1}{12} \cdot \frac{1}{1- \frac{1}{12} } \right)= \frac{3}{8}\left( \frac{12}{11}+ \frac{1}{3} \cdot \frac{12}{11} \right)= \frac{3}{8}\left( \frac{12}{11}+ \frac{4}{11} \right)=}\)
\(\displaystyle{ \frac{3}{8} \cdot \frac{16}{11}= \frac{6}{11}}\).

Czy tak jest dobrze?
loitzl9006
Moderator
Moderator
Posty: 3050
Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Starachowice
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 816 razy

Re: Bolek i Lolek

Post autor: loitzl9006 »

Dobrze
ODPOWIEDZ