Witam
Mógłby ktoś rozwiązać takie oto równanie rekurencyjne \(\displaystyle{ f_n=2^{2n-2}+4f_{n-1}}\) ?
Rozwiąż równanie rekurencyjne niejednorodne.
-
spellshaper
- Użytkownik
- Posty: 17
- Rejestracja: 7 paź 2015, o 21:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 2 razy
Rozwiąż równanie rekurencyjne niejednorodne.
Ostatnio zmieniony 26 mar 2019, o 00:24 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa tematu: niejednorodne.
Powód: Poprawa tematu: niejednorodne.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Rozwiąż równanie rekurencyjne nie jednorodne.
\(\displaystyle{ f_{n+1}=2^{2n}+4f_n\\f_n=2^{2n-2}+4f_{n-1}}\)
Mnożymy drugie równanie przez \(\displaystyle{ 4}\), odejmujemy stronami i mamy:
\(\displaystyle{ f_{n+1}-4f_n=4\left( f_n-4f_{n-1}\right)}\),
czyli ciąg \(\displaystyle{ g_n=f_n-4f_{n-1}}\) jest geometrycznym o ilorazie \(\displaystyle{ 4}\).
Ponadto \(\displaystyle{ g_1=f_1-4f_0=1}\), więc \(\displaystyle{ g_n=4^{n-1}}\) i teraz zapisujemy
\(\displaystyle{ f_n=f_n-4f_{n-1}+4\left( f_{n-1}-f_{n-2}\right)+\ldots+4^{n-1}(f_1-4f_0)+4^n f_0=\\=n 4^{n-1}+4^n f_0}\)
Mnożymy drugie równanie przez \(\displaystyle{ 4}\), odejmujemy stronami i mamy:
\(\displaystyle{ f_{n+1}-4f_n=4\left( f_n-4f_{n-1}\right)}\),
czyli ciąg \(\displaystyle{ g_n=f_n-4f_{n-1}}\) jest geometrycznym o ilorazie \(\displaystyle{ 4}\).
Ponadto \(\displaystyle{ g_1=f_1-4f_0=1}\), więc \(\displaystyle{ g_n=4^{n-1}}\) i teraz zapisujemy
\(\displaystyle{ f_n=f_n-4f_{n-1}+4\left( f_{n-1}-f_{n-2}\right)+\ldots+4^{n-1}(f_1-4f_0)+4^n f_0=\\=n 4^{n-1}+4^n f_0}\)