Udowodnij,że dla \(\displaystyle{ n}\) należących do naturalnych +
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} - \frac{2}{2 ^{2} } + \frac{3}{2 ^{3} }- \frac{4}{2 ^{4} } +...+ -1^{n-1} \cdot \frac{n}{ 2^{n} }= \frac{1}{9}\left( 2+(-1) ^{n-1} \cdot \frac{3n+2}{2 ^{n} } \right)}\)
Może ktoś pokazać jak to udowodnić?
Dowód liczbowy
Dowód liczbowy
Ostatnio zmieniony 18 mar 2019, o 02:00 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Re: Dowód liczbowy
A tam indukcja!
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}\frac{k}{2^k}=- \sum_{k=1}^{n}k\left( -\frac 1 2\right)^k}\)
i teraz tak: dla \(\displaystyle{ q\neq 1}\) mamy
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}kq^k= \sum_{k=1}^{n} \sum_{l=1}^{k}q^k=\\= \sum_{l=1}^{n} \sum_{k=l}^{n}q^k= \sum_{l=1}^{n} \frac{q^l-q^{n+1}}{1-q}=\\=\frac{1}{1-q}\left( \sum_{l=1}^{n}q^l- \sum_{l=1}^{n}q^{n+1} \right)=\\=\frac{q-q^{n+1}}{(1-q)^2}-\frac{nq^{n+1}}{1-q}}\)
Wystarczy do tego podstawić \(\displaystyle{ q=-\frac 1 2}\) i pomnożyć przez \(\displaystyle{ -1}\).
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}\frac{k}{2^k}=- \sum_{k=1}^{n}k\left( -\frac 1 2\right)^k}\)
i teraz tak: dla \(\displaystyle{ q\neq 1}\) mamy
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}kq^k= \sum_{k=1}^{n} \sum_{l=1}^{k}q^k=\\= \sum_{l=1}^{n} \sum_{k=l}^{n}q^k= \sum_{l=1}^{n} \frac{q^l-q^{n+1}}{1-q}=\\=\frac{1}{1-q}\left( \sum_{l=1}^{n}q^l- \sum_{l=1}^{n}q^{n+1} \right)=\\=\frac{q-q^{n+1}}{(1-q)^2}-\frac{nq^{n+1}}{1-q}}\)
Wystarczy do tego podstawić \(\displaystyle{ q=-\frac 1 2}\) i pomnożyć przez \(\displaystyle{ -1}\).
Re: Dowód liczbowy
Niestety,ale zadanie musi zostać wykonane tradycyjną metodą indukcji matematycznej,czy jest tutaj ktoś w stanie to rozpisać sensownie?
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Re: Dowód liczbowy
Dowody indukcyjne zazwyczaj można podzielić na takie, w których potrzebny jest mniejszy czy większy spryt, by je przeprowadzić, i na takie, w których wszystko idzie w miarę automatycznie. To jest akurat ten drugi rodzaj: baza indukcji to proste sprawdzenie, że dla \(\displaystyle{ n=1}\) się zgadza:
\(\displaystyle{ \frac 1 2 =\frac 1 9\left( 2+(-1)^{1-1}\cdot \frac{3\cdot 1+2}{2} \right)}\) , cała „techniczna" część kroku indukcyjnego polega tu po prostu na obustronnym dodaniu kolejnego wyrazu i wykonaniu prostych przekształceń.
Czy znasz w ogóle zasadę indukcji matematycznej?
\(\displaystyle{ \frac 1 2 =\frac 1 9\left( 2+(-1)^{1-1}\cdot \frac{3\cdot 1+2}{2} \right)}\) , cała „techniczna" część kroku indukcyjnego polega tu po prostu na obustronnym dodaniu kolejnego wyrazu i wykonaniu prostych przekształceń.
Czy znasz w ogóle zasadę indukcji matematycznej?