Obliczyć wartość oczekiwaną zysku gracza

[TobiWan]

Gracz ma \(\displaystyle{ 15}\) zł. Wpłaca \(\displaystyle{ 1}\) zł i jeśli wyrzuci orła w pierwszym rzucie, to wygrywa dodatkowo \(\displaystyle{ 1}\) zł
i przerywa grę. Jeśli w pierwszym rzucie wypadła reszka, gracz stawia \(\displaystyle{ 2}\) zł (na wygraną — wyrzucenie
orła) i jeśli wygra drugi rzut to również przerywa grę. W przeciwnym przypadku stawia \(\displaystyle{ 4}\) zł na wygraną w
trzecim rzucie. Jeśli znowu przegra, stawia pozostałe \(\displaystyle{ 8}\) zł (\(\displaystyle{ 1+2+4+8 = 15}\)). Jaka jest wartość oczekiwana
i wariancja zysku gracza w tej grze? Uwaga: zysk \(\displaystyle{ = -15}\), jeśli gracz przegra w każdym rzucie.

[kerajs]

Zakładając że przy grze o 2/4/8 zł tyleż samo wygrywamy i przerywamy grę to:
\(\displaystyle{ P(X=-15)= \left( \frac{1}{2} \right)^4= \frac{1}{16} \\
P(X=1)= \frac{15}{16}}\)
\(\displaystyle{ E(X)=1\cdot \frac{15}{16}+(-15) \cdot \frac{1}{16} =0\\
D^2(X)=E(X^2)-\left[ E(X)\right]^2 =1^2 \cdot \frac{15}{16}+(-15)^2 \cdot \frac{1}{16} -(0)^2=15}\)