Wzór na n-ty wyraz ciągu równania rekurencyjnego

[iavund]

Cześć, nie mogę uporać się z zadaniem o treści poniżej.

Znaleźć i udowodnić indukcją wzór na wyraz ogólny ciągu, dla którego zachodzi następujące równanie
rekurencyjne:

\(\displaystyle{ a_{n}= \frac{7(n+2)}{2n}a_{n-1},\quad dla\ n\ge2,\quad a_{1}=14}\)

Na podstawie innych zadań z rekurencją, postanowiłem je rozwiązać na zasadzie podstawiania za \(\displaystyle{ a_{n-1}}\) wzoru rekurencyjnie, przy czym za oryginalne \(\displaystyle{ n}\) podstawiam \(\displaystyle{ n-1}\) (itd.), tzn.:

\(\displaystyle{ a_{n}= \frac{7(n+2)}{2n} \cdot \frac{7(n-1+2)}{2(n-1)} \cdot a_{n-2}}\)

\(\displaystyle{ a_{n}= \frac{7(n+2)}{2n} \cdot \frac{7(n-1+2)}{2(n-1)} \cdot \frac{7(n-2+2)}{2(n-2)} \cdot a_{n-3}}\)

\(\displaystyle{ a_{n}= \frac{7(n+2)}{2n} \cdot \frac{7(n-1+2)}{2(n-1)} \cdot \frac{7(n-2+2)}{2(n-2)} \cdot \frac{7(n-3+2)}{2(n-3)} \cdot a_{n-4}}\)

\(\displaystyle{ a_{n}= \frac{7(n+2)}{2n} \cdot \frac{7(n+1)}{2(n-1)} \cdot \frac{7n}{2(n-2)} \cdot \frac{7(n-1)}{2(n-3)} \cdot a_{n-4}}\)

Pisząc tego posta wyliczenia prowadziłem dalej, by pokazać jak to wg mnie przebiega, jednak powstrzymałem się i skasowałem resztę, bo obawiam się, że będę siał herezję matematyczną (o ile już tego nie zrobiłem)

W każdym razie dotarłem do wniosku, że prawidłowym wzorem powinien być:

\(\displaystyle{ a_{n}= \frac{7^{(n-1)} \cdot \frac{(n+2)!}{(n-2)!} }{2^{(n-1)} n!} \cdot 14}\)

jednak on prawidłowy nie jest. Przyjąłem sobie, że jeśli \(\displaystyle{ a_{n-4}}\) będzie równe \(\displaystyle{ a_{1}}\), to \(\displaystyle{ n}\) w w/w równaniach będzie wynosić \(\displaystyle{ 5}\) i uznałem, że na przykładzie \(\displaystyle{ n=5}\) mogę wyprowadzić wzór ogólny, przy czym jeśli siódemek w liczniku jest \(\displaystyle{ 4}\), to ogólnie będzie ich \(\displaystyle{ n-1}\), analogicznie z dwójkami w mianowniku. Ponadto w mianowniku mamy do czynienia z silnią n-owską. Aby uporać się z \(\displaystyle{ (n+2), (n+1), n, (n-1)}\) w liczniku postanowiłem zamienić to na \(\displaystyle{ \frac{(n+2)!}{(n-2)!}}\).

Pomijam już, że jeśli faktycznie miałbym coś takiego jak \(\displaystyle{ (n-2)!}\) to miałbym problem z indukcją, bo jak rozumiem musiałbym udowodnić działanie wzoru dla \(\displaystyle{ n=1}\).

Bardzo proszę o naprowadzenie mnie lub wręcz pokazanie, jak prawidłowo należy podejść do tego zadania. Na razie wiem tyle, że coś w tym moim podejściu do sprawy śmierdzi, ale nie wiem co.

[Zahion]

\(\displaystyle{ a_{n}= \frac{7(n+2)}{2n}a_{n-1} \Rightarrow \frac{a_{n}}{a_{n-1}} = \frac{7\left( n+2\right) }{2n} \Rightarrow \frac{a_{n}}{a_{1}} = \prod_{k=2}^{n} \frac{a_{k}}{a_{k-1}} = \prod_{k=2}^{n} \frac{7\left( k+2\right) }{2k} = \frac{7^{n-1}}{2^{n-1}} \prod_{k=2}^{n} \frac{k+2}{k} = \frac{7^{n-1}}{2^{n-1}} \cdot \frac{(n+1)(n+2)}{6}}\)

[iavund]

Okej. Po przetrawieniu udało mi się to zrozumieć, choć miałem problem na pierwszy rzut oka wywnioskować skąd się wzięło (ii), choć po rozpisaniu sobie tego na konkretnych przykładach, faktycznie ewidentnie widać, że (i) jest równe (ii).

(i)

\(\displaystyle{ \prod_{k=2}^{n} \frac{k+2}{k}}\)

(ii)

\(\displaystyle{ \frac{(n+1)(n+2)}{6}}\)

No cóż, moja intuicja dot. tego typu zadań jeszcze mocno kuleje. Dziękuję za odpowiedź!