Liczba inwolucji m-elementowych

[Kikert]

Mam za zadanie policzyć liczbę inwolucji m elementów. Próbowałem to zrobić tak:

Na razie przyjmuję \(\displaystyle{ m=2n}\). Zliczamy permutacje w zależności od liczby cykli. Cykle mogą być jedno lub dwu elementowe. Jeśli cykli 2-elementowych jest \(\displaystyle{ i}\) (\(\displaystyle{ i=0 \dots n}\)), to cykli ogółem jest \(\displaystyle{ 2n-i}\). Ustalamy \(\displaystyle{ i}\).

Ustawiamy liczby w dowolnym porządku (\(\displaystyle{ (2n)!}\) opcji), niech na początku będą cykle dwuelementowe, a potem jednoelementowe. Kolejność w cyklach dwuelementowych się nie liczy (\(\displaystyle{ 1/2^i}\)), kolejność cykli dwuelementowych (\(\displaystyle{ 1/i!}\)) ani jednoelementowych (\(\displaystyle{ 1/(2n-2i)!}\)) też nie.

Dostajemy \(\displaystyle{ \frac{(2n)!}{(2n-2i)!2^{i}i!} = {2n \choose 2i} \frac{1}{2^i} \frac{(2i)!}{i!}}\)

Stąd liczba inwolucji to \(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n} {2n \choose 2i} \frac{1}{2^i} \frac{(2i)!}{i!}}\)

Próbowałem uprościć tę sumę przez zaburzanie, ale nie dostaję żadnego sensownego wyniku i zaczynam podejrzewać, że gdzieś popełniłem błąd.

1. Czy moje rozumowanie jest poprawne?
2. Czy istnieje jakaś prostsza interpretacja kombinatoryczna tego zadania?

[arek1357]

Ten wzór ma dobre zadatki ale jest bardzo niestrawny i może się sypnąć...

Ja bym proponował nie zakładać, że muszą być parzyste, zapisałbym to tak:

\(\displaystyle{ \sum_{i+2j=n}^{} \frac{n!}{1^i \cdot 2^j \cdot i! \cdot j!}}\)

Teraz można próbować zwijać...