Suma i iloczyn

[mol_ksiazkowy]

Dany jest ciąg \(\displaystyle{ x_1, x_2, x_3, ...}\) przez
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1=a \\ x_{n+1} = x_n^2 +x_n \end{cases}}\)
przy czym \(\displaystyle{ a \neq -1}\)

Niech \(\displaystyle{ y_n = \frac{1}{1+x_n}}\) oraz \(\displaystyle{ S_n , P_n}\) będą sumą i iloczynem liczb \(\displaystyle{ y_1,...,y_n}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ aS_n +P_n = 1}\) dla \(\displaystyle{ n=1, 2, 3,...}\)

Ukryta treść:    

BMO 1983 r.

[Blazo2000]

Rozwiązanie:

Ukryta treść:    

Indukcyjnie pokażemy, że:
\(\displaystyle{ (1) S _{n} = \frac{1}{a} - \frac{1}{x _{n+1} }}\)
Dla \(\displaystyle{ n=1}\) łatwo sprawdzić, że jest to prawda, załóżmy teraz, że jest to prawda dla pewnego \(\displaystyle{ n}\) wówczas dla \(\displaystyle{ n+1}\) mamy:
\(\displaystyle{ S _{n+1} = S _{n} + y _{n+1} = \frac{1}{a} - \frac{1}{x _{n+1} } + \frac{1}{1+x _{n+1} }= \frac{1}{a} - \frac{1+x _{n+1}-x _{n+1} }{x _{n+1}(1+ x_{n+1} ) }= \frac{1}{a} - \frac{1}{x _{n+2} }}\)
Co kończy dowód indukcyjny.
Teraz pokażemy indukcyjnie, że:
\(\displaystyle{ (2)x _{n+1} = \frac{a}{P _{n} }}\)
Dla \(\displaystyle{ n=1}\) jest to prawda, teraz dowodzimy kroku indukcyjnego:
\(\displaystyle{ x _{n+1} = (x _{n}+1 )x _{n} = \frac{1}{y _{n} }x _{n}= \frac{1}{y _{n} }\frac{a}{P _{n-1} }= \frac{a}{P _{n} }}\)
Co kończy dowód indukcyjny.
Mamy zatem:
\(\displaystyle{ aS _{n} +P _{n} =a (\frac{1}{a} - \frac{1}{x _{n+1} } )+ \frac{a}{x _{n+1} }=1}\)