Dowód z wykorzystaniem metod kombinatorycznych

[Kaper]

Witam! Jak udowodnić takie zadanie
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}n+1\\n\end{array}\right]=\binom{n+1}{2}}\)

Próbowałem to rozpisać, lewą strone za pomocą liczb Stirlinga I rodzaju, drugą strone rozpisałem za pomocą dwumianu Newtona ale nie wychodzi. Jak coś takiego rozwiązać ?

[kerajs]

Może tak:
\(\displaystyle{ L=\left[\begin{array}{ccc}n+1\\n\end{array}\right]=(n+1-1)\left[\begin{array}{ccc}n\\n\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}n\\n-1\end{array}\right]=\\=
n \cdot 1+(n-1)\left[\begin{array}{ccc}n-1\\n-1\end{array}\right]+
\left[\begin{array}{ccc}n-1\\n-2\end{array}\right]=....=\\=
n+(n-1)+...+2+1\left[\begin{array}{ccc}1\\1\end{array}\right]+
\left[\begin{array}{ccc}1\\0\end{array}\right]=\\=n+(n-1)+...+2+1+0= \frac{n(n+1)}{2}= {n+1 \choose 2}=P}\)

[leg14]

Lewa strona to rozmieszczenie \(\displaystyle{ n +1}\) liczb w \(\displaystyle{ n}\) cyklach. Zauważ, że jeden z tych cykli musi być 2 elementowy, a pozostałe są trywialne - jednoelementowe.
Dla dowolnych \(\displaystyle{ a , b}\) cykl \(\displaystyle{ (a b)}\) jest równoważny \(\displaystyle{ (b a)}\).
Wniosek:
Wystarczy wybrać parę liczb z \(\displaystyle{ \left\{ 1,...,n+1\right\}}\) i taka para daje nam już jednoznacznie element \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}n+1\\n\end{array}\right]}\)