Matematyka.pl

Zwinąć tę sumę \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^n (-1)^k (n-k)! (n+k)!}\)

Żeby zrobić to zadanie musimy tę sumę rozszerzyć w taki sposób, pokażę dla kilku przykładów:

Najpierw rozpiszmy tę sumę:

\(\displaystyle{ n! \cdot n!-(n-1)! \cdot (n+1)!+(n-2)! \cdot (n+2)!-... \pm (n-n)! \cdot (n+n)!}\)

Teraz to rozpiszmy dla kilku przykładów i będziemy tę sumę rozszerzać...

Zamienimy tę sumę na sumę symetryczną...

dla.: \(\displaystyle{ n=0}\)

w zadaniu mamy:

\(\displaystyle{ 0! \cdot 0! \rightarrow 0! \cdot 0!=1= \frac{1!}{1}}\) strzałka jest "przyporządkowaniem"

dla: \(\displaystyle{ n=1}\)

\(\displaystyle{ 1! \cdot 1!-0! \cdot 2! \rightarrow -2! \cdot 0!+1! \cdot 1!-0! \cdot 2!=-3= -\frac{6}{2}=- \frac{3!}{2}}\)

dla: \(\displaystyle{ n=2}\)

\(\displaystyle{ 2! \cdot 2!-1! \cdot 3!+0! \cdot 4! \rightarrow 4! \cdot 0!-3! \cdot 1!+2! \cdot 2!-1! \cdot 3!+0! \cdot 4!=40 = \frac{120}{3}= \frac{5!}{3}}\)

Widać już o co biega , suma rozszerzona to suma symetryczna, łatwo wysnuć wnioski, a mianowicie:

Ogólnie nasza suma po rozszerzeniu wygląda tak:

\(\displaystyle{ \pm (n+n)! \cdot (n-n)!...+(n+2)! \cdot (n-2)!-(n+1)! \cdot (n-1)!+n! \cdot n!-(n-1)! \cdot (n+1)!+(n-2)! \cdot (n+2)!-... \pm (n-n)! \cdot (n+n)!=}\)

\(\displaystyle{ 2\cdot \sum_{k=0}^{n}\left( n-k\right)! \cdot \left( n+k\right)!-(n!)^2}\)



Bo to co jest na prawo od.: \(\displaystyle{ n! \cdot n!}\)

jest tym samym co jest na lewo od.: \(\displaystyle{ n! \cdot n!}\)

A na końcu przed:

\(\displaystyle{ \pm (n-n)! \cdot (n+n)!}\)

jest na przemian to plus to minus...


Wyniki , jakie daje rozszerzona suma są następujące:

\(\displaystyle{ 1, -3, 40,...}\)

Co nie trudno napisać na nie wzór:

\(\displaystyle{ \frac{1!}{1} ,-\frac{3!}{2}, \frac{5!}{3}, -\frac{7!}{4},...}\)

Ogólnie:

\(\displaystyle{ (-1)^n \frac{(2n+1)!}{n+1}, n=0,1,2,...}\)

Czyli mamy:

\(\displaystyle{ 2 \cdot \sum_{k=0}^{n}\left( n-k\right)! \cdot \left( n+k\right)!-(n!)^2= (-1)^n\frac{(2n+1)!}{n+1}}\)

co daje nam:


\(\displaystyle{ \cdot \sum_{k=0}^{n}\left( n-k\right)! \cdot \left( n+k\right)!= \frac{1}{2}(n!)^2+(-1)^n\frac{(2n+1)!}{2(n+1)}= \frac{1}{2}\left[ (n!)^2+(-1)^n\frac{(2n+1)!}{n+1}\right]}\)

Co jest prawdą, dla małych działa, a dla wielkich można udowodnić indukcyjnie co mi się już nie chce...-- 23 lutego 2019, 03:03 --Dziękuję...