Na ile sposobów można rozmieścić 7 długopisów w 4 ponumerowa

[luotry]

Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania:

Na ile sposobów można rozmieścić 7 długopisów w 4 ponumerowanych piórnikach tak
aby:
(a) w jednym piórniku znalazły się co najmniej 3 długopisy, przy założeniu, że długopisy są nierozróżnialne,
(b) żaden piórnik nie był pusty, przy założeniu, że długopisy są rozróżnialne.

[arek1357]

W pierwszym zastosuj wielomiany w drugim suriekcje...

[kerajs]

Inaczej:

Ad 1.
Jedyne rozmieszczenia nie spełniające warunków zadania to \(\displaystyle{ (2,2,2,1),(2,2,1,2), (2,1,2,2), (1,2,2,2)}\).
Stąd szukana ilość rozłożeń to: \(\displaystyle{ il={7+4-1 \choose 4-1}-4=116}\)

Ad 2.
\(\displaystyle{ A_1}\) - w jednej szufladzie cztery długopisy, w pozostałych po jednym
\(\displaystyle{ A_2}\) - jest szuflada z trzema i szuflada z dwoma długopisami, w pozostałych po jednym
\(\displaystyle{ A_3}\) - w jednej szufladzie jest tylko jeden długopis, a w pozostałych po dwa
\(\displaystyle{ il=\left| A_1\right|+ \left| A_2\right|+ \left| A_3\right|= {4 \choose 1} {7 \choose 4}3!+
{4 \choose 1} {7 \choose 3}{3 \choose 1} {4 \choose 2}2!+{4 \choose 1} {7 \choose 1}{6 \choose 2} {4 \choose 2}}\)