Ile jest liczb w zbiorze \(\displaystyle{ B= \{10,11,12,...,99\}}\) zawierających co najmniej jedną cyfrę \(\displaystyle{ 0, 1}\) lub \(\displaystyle{ 2}\)?
Czy prawidłowa odpowiedź to \(\displaystyle{ 41}\)?
Ile jest liczb w zbiorze B zawierających 0, 1 lub 2?
-
DonElektron
- Użytkownik
- Posty: 64
- Rejestracja: 18 lis 2017, o 12:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bielany
- Podziękował: 8 razy
Ile jest liczb w zbiorze B zawierających 0, 1 lub 2?
Ostatnio zmieniony 31 sty 2019, o 14:39 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
-
PieknoMatematyki
- Użytkownik
- Posty: 61
- Rejestracja: 6 sty 2019, o 05:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 13 razy
Re: Ile jest liczb w zbiorze B zawierających 0, 1 lub 2?
I sposób
Wszędzie tam gdzie są \(\displaystyle{ 0}\), ale nie ma \(\displaystyle{ 1,2}\):
\(\displaystyle{ 30,40,50,60,70,80,90}\)
Wszędzie tam gdzie są \(\displaystyle{ 1}\), ale nie ma \(\displaystyle{ 0,2}\):
\(\displaystyle{ 11,13,14,15,16,17,18,19,31,41,51,61,71,81,91}\)
Wszędzie tam gdzie są \(\displaystyle{ 2}\), ale nie ma \(\displaystyle{ 0,1}\):
\(\displaystyle{ 22,23,24,25,26,27,28,29,32,42,52,62,72,82,92}\)
do tego:
\(\displaystyle{ 10,12,20,21}\)
Czyli dokładnie tak jak mówisz jest ich \(\displaystyle{ 41}\).
II sposób
Możemy też to obliczyć szybciej kombinatorycznie:
Wszędzie tam gdzie są \(\displaystyle{ 0}\), ale nie ma \(\displaystyle{ 1,2}\):
\(\displaystyle{ 7 \cdot 1}\)
Wszędzie tam gdzie są \(\displaystyle{ 1}\), ale nie ma \(\displaystyle{ 0,2}\):
\(\displaystyle{ 8 \cdot 1 + 7 \cdot 1}\)
Wszędzie tam gdzie są \(\displaystyle{ 2}\), ale nie ma \(\displaystyle{ 0,1}\):
\(\displaystyle{ 8 \cdot 1 + 7 \cdot 1}\)
tam gdzie jest tylko \(\displaystyle{ 1,0}\) + \(\displaystyle{ 2,0}\) + \(\displaystyle{ 1,2}\)
\(\displaystyle{ 1 + 1 + 2}\)
Tok myślenia tutaj jest taki sam jak przy rozpisywaniu, które zrobiłem wyżej, więc pozwolę sobie nie opisywać.
III sposób
Można też obliczyć ile jest tych, które nie mają tych liczb:
\(\displaystyle{ 90 - 20 - 3 \cdot 7 = 49}\)
Tutaj \(\displaystyle{ 90}\) to wszystkie \(\displaystyle{ 20}\) to pierwsze \(\displaystyle{ 20}\) liczb, które odpadają z wiadomych względów, a później w każdej dziesiątce są \(\displaystyle{ 3}\), które nie pasują np.: \(\displaystyle{ 30,31,32, 40, 41,42}\) pozostałych dziesiątek jest \(\displaystyle{ 7}\), więc \(\displaystyle{ 3 \cdot 7}\).
No i odejmujemy wszystkie
\(\displaystyle{ 90 - 49 = 41}\)
Wszędzie tam gdzie są \(\displaystyle{ 0}\), ale nie ma \(\displaystyle{ 1,2}\):
\(\displaystyle{ 30,40,50,60,70,80,90}\)
Wszędzie tam gdzie są \(\displaystyle{ 1}\), ale nie ma \(\displaystyle{ 0,2}\):
\(\displaystyle{ 11,13,14,15,16,17,18,19,31,41,51,61,71,81,91}\)
Wszędzie tam gdzie są \(\displaystyle{ 2}\), ale nie ma \(\displaystyle{ 0,1}\):
\(\displaystyle{ 22,23,24,25,26,27,28,29,32,42,52,62,72,82,92}\)
do tego:
\(\displaystyle{ 10,12,20,21}\)
Czyli dokładnie tak jak mówisz jest ich \(\displaystyle{ 41}\).
II sposób
Możemy też to obliczyć szybciej kombinatorycznie:
Wszędzie tam gdzie są \(\displaystyle{ 0}\), ale nie ma \(\displaystyle{ 1,2}\):
\(\displaystyle{ 7 \cdot 1}\)
Wszędzie tam gdzie są \(\displaystyle{ 1}\), ale nie ma \(\displaystyle{ 0,2}\):
\(\displaystyle{ 8 \cdot 1 + 7 \cdot 1}\)
Wszędzie tam gdzie są \(\displaystyle{ 2}\), ale nie ma \(\displaystyle{ 0,1}\):
\(\displaystyle{ 8 \cdot 1 + 7 \cdot 1}\)
tam gdzie jest tylko \(\displaystyle{ 1,0}\) + \(\displaystyle{ 2,0}\) + \(\displaystyle{ 1,2}\)
\(\displaystyle{ 1 + 1 + 2}\)
Tok myślenia tutaj jest taki sam jak przy rozpisywaniu, które zrobiłem wyżej, więc pozwolę sobie nie opisywać.
III sposób
Można też obliczyć ile jest tych, które nie mają tych liczb:
\(\displaystyle{ 90 - 20 - 3 \cdot 7 = 49}\)
Tutaj \(\displaystyle{ 90}\) to wszystkie \(\displaystyle{ 20}\) to pierwsze \(\displaystyle{ 20}\) liczb, które odpadają z wiadomych względów, a później w każdej dziesiątce są \(\displaystyle{ 3}\), które nie pasują np.: \(\displaystyle{ 30,31,32, 40, 41,42}\) pozostałych dziesiątek jest \(\displaystyle{ 7}\), więc \(\displaystyle{ 3 \cdot 7}\).
No i odejmujemy wszystkie
\(\displaystyle{ 90 - 49 = 41}\)