Udowodnić tożsamość kombinatoryczną

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
MultiGumis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 15 lis 2018, o 13:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 12 razy

Udowodnić tożsamość kombinatoryczną

Post autor: MultiGumis »

\(\displaystyle{ S(n, n-1)= \frac{n(n-1)}{2}, n \ge 1}\)

Należy to udowodnić bez użycia indukcji matematycznej.
Doszedłem do takiego czegoś:
\(\displaystyle{ L=S(n,n-1)=S(n-1, n-2)+(n-1) \cdot S(n-1, n-1)=S(n-1, n-2)+n-1}\)
i nie wiem co dalej. Proszę o pomoc.
Ostatnio zmieniony 17 sty 2019, o 19:03 przez AiDi, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Udowodnić tożsamość kombinatoryczną

Post autor: a4karo »

A co to jest \(\displaystyle{ S}\)?
MultiGumis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 15 lis 2018, o 13:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 12 razy

Re: Udowodnić tożsamość kombinatoryczną

Post autor: MultiGumis »

a4karo pisze:A co to jest \(\displaystyle{ S}\)?
Lczba Stirlinga 1 rodzaju
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: Udowodnić tożsamość kombinatoryczną

Post autor: arek1357 »

\(\displaystyle{ S(n,n-1)=(n-1)S(n-1,n-1)+S(n-1,n-2)=(n-1)+S(n-1,n-2)=(n-1)+(n-2)+S(n-2,n-3)=...= \sum_{i=n-1}^{1}i= \sum_{i=1}^{n-1}i= \frac{n(n-1)}{2}}\)
Ostatnio zmieniony 17 sty 2019, o 21:07 przez arek1357, łącznie zmieniany 2 razy.
MultiGumis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 15 lis 2018, o 13:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 12 razy

Re: Udowodnić tożsamość kombinatoryczną

Post autor: MultiGumis »

arek1357 pisze:\(\displaystyle{ S(n,n-1)=(n-1)S(n-1,n-1)+S(n-1,n-2)=(n-1)+S(n-1,n-2)=(n-1)+(n-2)+S(n-2,n-3)=...= \sum_{i=1}^{n-1}i= \frac{n(n-1)}{2}}\)
Nie rozumiem skąd się bierze \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n-1}i}\) i dlaczego to jest równe \(\displaystyle{ \frac{n(n-1)}{2}}\). Mógłbyś wytłumaczyć?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Udowodnić tożsamość kombinatoryczną

Post autor: Jan Kraszewski »

MultiGumis pisze:Nie rozumiem skąd się bierze \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n-1}i}\)
Z wielokrotnego powtórzenia operacji zasygnalizowanej wcześniej przez arka.
MultiGumis pisze:i dlaczego to jest równe \(\displaystyle{ \frac{n(n-1)}{2}}\).
No takie rzeczy to już 10-letni Gauss wiedział...

JK
ODPOWIEDZ