Rekurencje, sprawdzenie wyniku

41421356 · Post autor: **41421356** » 16 gru 2018, o 23:27

\(\displaystyle{ a_0=3 \\ a_1=6 \\ a_n=a_{n-1}+6a_{n-2} \ , \ n\geq 2}\)

Mi wyszło rownanie:
\(\displaystyle{ a_n=\frac{3}{5}\left(-2\right)^n+\frac{12}{5}3^n}\)

Zaś w odpowiedziach jest podany wynik:
\(\displaystyle{ a_n=-\frac{1}{2}\left(-5\right)^n+\frac{7}{2}}\)

Teraz pytanie, która wersja jest dobra i skąd rozwiązania równania charakterystycznego to minus pięć i jeden (jak twierdzi odpowiedź)?

Premislav · Post autor: **Premislav** » 16 gru 2018, o 23:39

Jeśli dobrze przepisałeś treść, to na pewno nie jest tak, jak w odpowiedziach.
Twoja wersja wygląda OK. Rozwiązaniami równania charakterystycznego w przypadku \(\displaystyle{ a_n=a_{n-1}+6a_{n-2}}\)
są \(\displaystyle{ -2}\) i \(\displaystyle{ 3}\).

Post autor: **Jan Kraszewski** » 16 gru 2018, o 23:43

41421356 pisze:Teraz pytanie, która wersja jest dobra i skąd rozwiązania równania charakterystycznego to minus pięć i jeden (jak twierdzi odpowiedź)?

A sprawdziłeś? U młodego pokolenia umiejętność sprawdzania odpowiedzi jest w zaniku...

Nie jest trudno zauważyć, że odpowiedź w odpowiedziach jest błędna. Ciąg określony rekurencyjnie jest ciągiem o wyrazach dodatnich, a ciąg w odpowiedziach wyrazy parzyste (poza \(\displaystyle{ a_0}\)) ma ujemne.

Natomiast Twój wynik jest poprawny, co można szybko zweryfikować sprawdzając, czy ten wzór ogólny spełnia zależność rekurencyjną.

JK

41421356 · Post autor: **41421356** » 17 gru 2018, o 11:54

Wstawiłem tylko dwa wyrazy początkowe do tej odpowiedzi i wychodził poprawny wynik. Dlatego chciałem to wyjaśnić. Pozdrawiam i dziękuję za pomoc.

Post autor: **Jan Kraszewski** » 17 gru 2018, o 12:58

41421356 pisze:Wstawiłem tylko dwa wyrazy początkowe do tej odpowiedzi i wychodził poprawny wynik.

No to już widzisz, że sprawdzenie trzeba robić dokładniej...

JK

Matematyka.pl