Problem z wyznaczeniem rekurencji

[41421356]

\(\displaystyle{ a_0=4 \\ a_1=1 \\ a_n=-a_{n-1}+6a_{n-2}-4n^2+2n \ , \ n\geq 2}\)

Zaciąłem się przy wyznaczaniu współczynników równania jednorodnego:

\(\displaystyle{ a_n=C_12^n+C_2(-3)^n}\)

Wychodzą mi jakieś ułamki, a powinno wyjść: \(\displaystyle{ C_1=-5 \ , \ C_2=1}\)

[Premislav]

Ale po co wyznaczasz współczynniki równania jednorodnego? To nie tak leci.

1) Znalazłeś rozwiązanie ogólne równania jednorodnego, OK.
2) Teraz szukasz rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego, będzie ono wielomianem stopnia co najwyżej \(\displaystyle{ 2}\), czyli będzie postaci \(\displaystyle{ a\cdot n^2+b\cdot n+c}\) dla pewnych stałych \(\displaystyle{ a,b,c}\). Podstawiasz do równania niejednorodnego
\(\displaystyle{ a_n=-a_{n-1}+6a_{n-2}-4n^2+2n}\),
dostając bodajże
\(\displaystyle{ an^2+bn+c=-a(n-1)^2-bn-c+6a(n-2)^2+6b(n-2)+6c-4n^2+2n}\),
porządkujesz, przyrównujesz współczynniki przy odpowiednich potęgach.
Otrzymasz wówczas stałe \(\displaystyle{ a,b,c}\) i dla takich znalezionych wartości stałych rozwiązanie ogólne równania rekurencyjnego niejednorodnego jest postaci
\(\displaystyle{ C_12^n+C_2(-3)^n+an^2+bn+c}\)
Stałe \(\displaystyle{ C_1, \ C_2}\) wyznaczasz na końcu, korzystając z warunków początkowych (powstaje układ dwóch równań liniowych z dwoma niewiadomymi).

[41421356]

Dziękuję bardzo za pomoc, teraz już wszystko jasne!