Kombinacje z powtórzeniami kulki pudełka

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
michal00040
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 25 paź 2018, o 22:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 2 razy

Kombinacje z powtórzeniami kulki pudełka

Post autor: michal00040 »

Mam problem z takim zadaniem, kompletnie nie wiem jak się za nie zabrać:

Do trzech ponumerowanych pudełek chcemy włożyć 10 jednakowych piłeczek ping-pongowych. Zakładamy przy tym, że każde z pudełek może pomieścić nawet 10 piłeczek. Ile różnych rozmieszczeń można uzyskać?

Czy mógłby mi ktoś z tym pomóc?
NauczycielMatematyki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 5 gru 2018, o 08:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 5 razy

Re: Kombinacje z powtórzeniami kulki pudełka

Post autor: NauczycielMatematyki »

Wsadźmy do jednego pudełka \(\displaystyle{ 10}\) piłek, takich sytuacji mamy \(\displaystyle{ 3}\).

Teraz rozpatrujemy sytuacje gdzie w jednej jest jedna piłeczka, a resztę piłek \(\displaystyle{ (10-1 = 9)}\) rozkładamy pomiędzy dwie:
\(\displaystyle{ 2+7 \\ 3+6 \\ 4+5 \\ 5+4 \\ 6+3 \\ 7+2}\)

mamy \(\displaystyle{ 6}\) opcji na każde pudełko czyli razy trzy jest równe \(\displaystyle{ 18}\).

Teraz rozłożymy do trzech pudełek tak jak jeszcze nie rozkładaliśmy:
\(\displaystyle{ 2+2+6\\
2+3+5\\
2+4+4\\
2+5+3\\
2+6+2\\
3+3+4\\
3+4+3\\
4+4+3\\
4+3+4\\
5+2+3\\
5+3+2\\
6+3+1\\
6+1+3\\}\)

Łącznie \(\displaystyle{ 14}\) opcji.

Zatem wszystkich opcji w sumie jest: \(\displaystyle{ 14+18+3 = 35}\).
michal00040
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 25 paź 2018, o 22:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 2 razy

Kombinacje z powtórzeniami kulki pudełka

Post autor: michal00040 »

Dziękuję za odpowiedź, wykładowca podał nam odpowiedź \(\displaystyle{ {12! \choose 10!}}\)
i właśnie nie wiedziałem dlaczego
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: Kombinacje z powtórzeniami kulki pudełka

Post autor: arek1357 »

wykładowca podał nam odpowiedź \(\displaystyle{ {12! \choose 10!}}\)
i właśnie nie wiedziałem dlaczego
Bzdury wam powiedział...
krl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 609
Rejestracja: 10 lis 2009, o 22:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 135 razy

Kombinacje z powtórzeniami kulki pudełka

Post autor: krl »

michal00040 pisze:Dziękuję za odpowiedź, wykładowca podał nam odpowiedź \(\displaystyle{ {12! \choose 10!}}\)
i właśnie nie wiedziałem dlaczego
A teraz już wiesz?
@NauczycielMatematyki: nie wziąłeś pod uwagę rozkładów kulek, w których dokładnie jedno pudełko jest puste.
Ponadto zamiast liczyć na palcach (co niektórzy lubią robić) lepiej zrobić to "sposobem". Zmieńmy trochę warunki zadania, dokładając na początku nadprogramowe kulki, po jednej do każdego pudełka. Wtedy zadanie zmieni się na takie: na ile sposobów możemy rozłożyć 13 kulek do trzech ponumerowanych pudełek, by w każdym znalazła się przynajmniej jedna kulka?
Można je rozwiązać tak: wyobraźmy sobie, że mamy pasek papieru podzielony na kolejne 13 kwadracików. Na pasku jest więc 12 linii dzielących go na 13 kwadracików. Teraz podział 13 kulek (czy kwadracików) między pudełka możemy sobie wyobrazić jak przecięcie paska papieru na 3 kawałki, wzdłuż linii (czyli dwa cięcia). Na ile sposobów można to zrobić? Na tyle, na ile można wybrać 2 spośród tych 12 linii do przecięcia, czyli będzie \(\displaystyle{ {12\choose 2} = 66}\) sposobów.
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: Kombinacje z powtórzeniami kulki pudełka

Post autor: arek1357 »

Jeszcze raz powtarzam to są bzdury:

\(\displaystyle{ {12! \choose 10!}= \frac{(12!)!}{(12!-10!)! \cdot (10!)!}}\)
NauczycielMatematyki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 5 gru 2018, o 08:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 5 razy

Re: Kombinacje z powtórzeniami kulki pudełka

Post autor: NauczycielMatematyki »

No prawdopodobnie chodziło o \(\displaystyle{ {12 \choose 10}}\)

W takim razie ja się sporo pomyliłem...

Nie zauważyłem jeszcze takich sytuacji
\(\displaystyle{ 5+5+0 (3 \text{ opcje}) \\
2+8+0 (6 \text{ opcji})\\
3+7+0 (6 \text{ opcji})\\
2+8+0 (6 \text{ opcji})\\
4+6+0 (6 \text{ opcji})\\
0+1+9 (6 \text{ opcji})}\)


Ale teraz jest za dużo znowu...

Nie ta godzina na rozpisywanie, ale mam nadzieję, że widzisz zasadę.

EDIT:
To ja się może zrehabilituję

Wsadźmy do jednego pudełka 10 piłek, takich sytuacji mamy \(\displaystyle{ 3}\).


\(\displaystyle{ 2+7 \\ 3+6 \\ 4+5 \\ 5+4 \\ 6+3 \\ 7+2 (\text{razy 3 wszystkie wyżej})\\ \\
2+2+6\\
2+3+5\\
2+4+4\\
2+5+3\\
2+6+2\\
3+2+5\\
3+3+4\\
3+4+3\\
4+3+3\\
5+2+3\\
5+3+2\\
6+2+2\\
5+5+0 (3 \text{ opcje}) \\
2+8+0 (6 \text{ opcji})\\
3+7+0 (6 \text{ opcji})\\
2+8+0 (6 \text{ opcji})\\
4+6+0 (6 \text{ opcji})\\
0+1+9 (6 \text{ opcji})}\)


Teraz po Bożemu wychodzi \(\displaystyle{ 66}\).
michal00040
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 25 paź 2018, o 22:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 2 razy

Kombinacje z powtórzeniami kulki pudełka

Post autor: michal00040 »

Tak mój zapis był niepoprawny.
Czyli teraz o ile dobrze rozumiem np w zadaniu:

Ile jest wszystkich 10-elementowych ciągów niemalejących utworzonych z liczb
1, 2, 3?

Odpowiedź również powinna być \(\displaystyle{ {10 \choose 2}}\) ?
NauczycielMatematyki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 5 gru 2018, o 08:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 5 razy

Kombinacje z powtórzeniami kulki pudełka

Post autor: NauczycielMatematyki »

michal00040 pisze: Odpowiedź również powinna być \(\displaystyle{ {10 \choose 2}}\) ?
W tym zadaniu też będzie \(\displaystyle{ 66}\) opcji.

a \(\displaystyle{ {10 \choose 2} = 45}\).
ODPOWIEDZ