Kombinacje z powtórzeniami kulki pudełka
-
- Użytkownik
- Posty: 12
- Rejestracja: 25 paź 2018, o 22:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 2 razy
Kombinacje z powtórzeniami kulki pudełka
Mam problem z takim zadaniem, kompletnie nie wiem jak się za nie zabrać:
Do trzech ponumerowanych pudełek chcemy włożyć 10 jednakowych piłeczek ping-pongowych. Zakładamy przy tym, że każde z pudełek może pomieścić nawet 10 piłeczek. Ile różnych rozmieszczeń można uzyskać?
Czy mógłby mi ktoś z tym pomóc?
Do trzech ponumerowanych pudełek chcemy włożyć 10 jednakowych piłeczek ping-pongowych. Zakładamy przy tym, że każde z pudełek może pomieścić nawet 10 piłeczek. Ile różnych rozmieszczeń można uzyskać?
Czy mógłby mi ktoś z tym pomóc?
-
- Użytkownik
- Posty: 15
- Rejestracja: 5 gru 2018, o 08:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 5 razy
Re: Kombinacje z powtórzeniami kulki pudełka
Wsadźmy do jednego pudełka \(\displaystyle{ 10}\) piłek, takich sytuacji mamy \(\displaystyle{ 3}\).
Teraz rozpatrujemy sytuacje gdzie w jednej jest jedna piłeczka, a resztę piłek \(\displaystyle{ (10-1 = 9)}\) rozkładamy pomiędzy dwie:
\(\displaystyle{ 2+7 \\ 3+6 \\ 4+5 \\ 5+4 \\ 6+3 \\ 7+2}\)
mamy \(\displaystyle{ 6}\) opcji na każde pudełko czyli razy trzy jest równe \(\displaystyle{ 18}\).
Teraz rozłożymy do trzech pudełek tak jak jeszcze nie rozkładaliśmy:
\(\displaystyle{ 2+2+6\\
2+3+5\\
2+4+4\\
2+5+3\\
2+6+2\\
3+3+4\\
3+4+3\\
4+4+3\\
4+3+4\\
5+2+3\\
5+3+2\\
6+3+1\\
6+1+3\\}\)
Łącznie \(\displaystyle{ 14}\) opcji.
Zatem wszystkich opcji w sumie jest: \(\displaystyle{ 14+18+3 = 35}\).
Teraz rozpatrujemy sytuacje gdzie w jednej jest jedna piłeczka, a resztę piłek \(\displaystyle{ (10-1 = 9)}\) rozkładamy pomiędzy dwie:
\(\displaystyle{ 2+7 \\ 3+6 \\ 4+5 \\ 5+4 \\ 6+3 \\ 7+2}\)
mamy \(\displaystyle{ 6}\) opcji na każde pudełko czyli razy trzy jest równe \(\displaystyle{ 18}\).
Teraz rozłożymy do trzech pudełek tak jak jeszcze nie rozkładaliśmy:
\(\displaystyle{ 2+2+6\\
2+3+5\\
2+4+4\\
2+5+3\\
2+6+2\\
3+3+4\\
3+4+3\\
4+4+3\\
4+3+4\\
5+2+3\\
5+3+2\\
6+3+1\\
6+1+3\\}\)
Łącznie \(\displaystyle{ 14}\) opcji.
Zatem wszystkich opcji w sumie jest: \(\displaystyle{ 14+18+3 = 35}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 12
- Rejestracja: 25 paź 2018, o 22:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 2 razy
Kombinacje z powtórzeniami kulki pudełka
Dziękuję za odpowiedź, wykładowca podał nam odpowiedź \(\displaystyle{ {12! \choose 10!}}\)
i właśnie nie wiedziałem dlaczego
i właśnie nie wiedziałem dlaczego
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5703
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 129 razy
- Pomógł: 524 razy
Re: Kombinacje z powtórzeniami kulki pudełka
Bzdury wam powiedział...wykładowca podał nam odpowiedź \(\displaystyle{ {12! \choose 10!}}\)
i właśnie nie wiedziałem dlaczego
-
- Użytkownik
- Posty: 609
- Rejestracja: 10 lis 2009, o 22:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 135 razy
Kombinacje z powtórzeniami kulki pudełka
A teraz już wiesz?michal00040 pisze:Dziękuję za odpowiedź, wykładowca podał nam odpowiedź \(\displaystyle{ {12! \choose 10!}}\)
i właśnie nie wiedziałem dlaczego
@NauczycielMatematyki: nie wziąłeś pod uwagę rozkładów kulek, w których dokładnie jedno pudełko jest puste.
Ponadto zamiast liczyć na palcach (co niektórzy lubią robić) lepiej zrobić to "sposobem". Zmieńmy trochę warunki zadania, dokładając na początku nadprogramowe kulki, po jednej do każdego pudełka. Wtedy zadanie zmieni się na takie: na ile sposobów możemy rozłożyć 13 kulek do trzech ponumerowanych pudełek, by w każdym znalazła się przynajmniej jedna kulka?
Można je rozwiązać tak: wyobraźmy sobie, że mamy pasek papieru podzielony na kolejne 13 kwadracików. Na pasku jest więc 12 linii dzielących go na 13 kwadracików. Teraz podział 13 kulek (czy kwadracików) między pudełka możemy sobie wyobrazić jak przecięcie paska papieru na 3 kawałki, wzdłuż linii (czyli dwa cięcia). Na ile sposobów można to zrobić? Na tyle, na ile można wybrać 2 spośród tych 12 linii do przecięcia, czyli będzie \(\displaystyle{ {12\choose 2} = 66}\) sposobów.
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5703
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 129 razy
- Pomógł: 524 razy
Re: Kombinacje z powtórzeniami kulki pudełka
Jeszcze raz powtarzam to są bzdury:
\(\displaystyle{ {12! \choose 10!}= \frac{(12!)!}{(12!-10!)! \cdot (10!)!}}\)
\(\displaystyle{ {12! \choose 10!}= \frac{(12!)!}{(12!-10!)! \cdot (10!)!}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 15
- Rejestracja: 5 gru 2018, o 08:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 5 razy
Re: Kombinacje z powtórzeniami kulki pudełka
No prawdopodobnie chodziło o \(\displaystyle{ {12 \choose 10}}\)
W takim razie ja się sporo pomyliłem...
Nie zauważyłem jeszcze takich sytuacji
\(\displaystyle{ 5+5+0 (3 \text{ opcje}) \\
2+8+0 (6 \text{ opcji})\\
3+7+0 (6 \text{ opcji})\\
2+8+0 (6 \text{ opcji})\\
4+6+0 (6 \text{ opcji})\\
0+1+9 (6 \text{ opcji})}\)
Ale teraz jest za dużo znowu...
Nie ta godzina na rozpisywanie, ale mam nadzieję, że widzisz zasadę.
EDIT:
To ja się może zrehabilituję
Wsadźmy do jednego pudełka 10 piłek, takich sytuacji mamy \(\displaystyle{ 3}\).
\(\displaystyle{ 2+7 \\ 3+6 \\ 4+5 \\ 5+4 \\ 6+3 \\ 7+2 (\text{razy 3 wszystkie wyżej})\\ \\
2+2+6\\
2+3+5\\
2+4+4\\
2+5+3\\
2+6+2\\
3+2+5\\
3+3+4\\
3+4+3\\
4+3+3\\
5+2+3\\
5+3+2\\
6+2+2\\
5+5+0 (3 \text{ opcje}) \\
2+8+0 (6 \text{ opcji})\\
3+7+0 (6 \text{ opcji})\\
2+8+0 (6 \text{ opcji})\\
4+6+0 (6 \text{ opcji})\\
0+1+9 (6 \text{ opcji})}\)
Teraz po Bożemu wychodzi \(\displaystyle{ 66}\).
W takim razie ja się sporo pomyliłem...
Nie zauważyłem jeszcze takich sytuacji
\(\displaystyle{ 5+5+0 (3 \text{ opcje}) \\
2+8+0 (6 \text{ opcji})\\
3+7+0 (6 \text{ opcji})\\
2+8+0 (6 \text{ opcji})\\
4+6+0 (6 \text{ opcji})\\
0+1+9 (6 \text{ opcji})}\)
Ale teraz jest za dużo znowu...
Nie ta godzina na rozpisywanie, ale mam nadzieję, że widzisz zasadę.
EDIT:
To ja się może zrehabilituję
Wsadźmy do jednego pudełka 10 piłek, takich sytuacji mamy \(\displaystyle{ 3}\).
\(\displaystyle{ 2+7 \\ 3+6 \\ 4+5 \\ 5+4 \\ 6+3 \\ 7+2 (\text{razy 3 wszystkie wyżej})\\ \\
2+2+6\\
2+3+5\\
2+4+4\\
2+5+3\\
2+6+2\\
3+2+5\\
3+3+4\\
3+4+3\\
4+3+3\\
5+2+3\\
5+3+2\\
6+2+2\\
5+5+0 (3 \text{ opcje}) \\
2+8+0 (6 \text{ opcji})\\
3+7+0 (6 \text{ opcji})\\
2+8+0 (6 \text{ opcji})\\
4+6+0 (6 \text{ opcji})\\
0+1+9 (6 \text{ opcji})}\)
Teraz po Bożemu wychodzi \(\displaystyle{ 66}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 12
- Rejestracja: 25 paź 2018, o 22:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 2 razy
Kombinacje z powtórzeniami kulki pudełka
Tak mój zapis był niepoprawny.
Czyli teraz o ile dobrze rozumiem np w zadaniu:
Ile jest wszystkich 10-elementowych ciągów niemalejących utworzonych z liczb
1, 2, 3?
Odpowiedź również powinna być \(\displaystyle{ {10 \choose 2}}\) ?
Czyli teraz o ile dobrze rozumiem np w zadaniu:
Ile jest wszystkich 10-elementowych ciągów niemalejących utworzonych z liczb
1, 2, 3?
Odpowiedź również powinna być \(\displaystyle{ {10 \choose 2}}\) ?
-
- Użytkownik
- Posty: 15
- Rejestracja: 5 gru 2018, o 08:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 5 razy
Kombinacje z powtórzeniami kulki pudełka
W tym zadaniu też będzie \(\displaystyle{ 66}\) opcji.michal00040 pisze: Odpowiedź również powinna być \(\displaystyle{ {10 \choose 2}}\) ?
a \(\displaystyle{ {10 \choose 2} = 45}\).