Grupy - sprawdzenie podgrupy, wewnętrzność działania.

[tppps]

Witam, rozwiązuję zadania z grup. Mam podanych kilkanaście przykładów, w pierwszej kolejności mam sprawdzić czy działanie \(\displaystyle{ \circ}\) jest działaniem wewnętrznym, z tym poszło mi w miare okej. Następnie, jeżeli stwierdziłem wewnętrzność takiego działania, mam sprawdzić czy para \(\displaystyle{ (G, \circ)}\) jest grupą oraz czy jest wtedy podgrupą \(\displaystyle{ (\RR,+)}\) lub \(\displaystyle{ (\RR \setminus \{0\}, \cdot ).}\)

Dla przykładu pierwszego:
1. \(\displaystyle{ G = \QQ, \ \forall x,y \ \in G \ , x \circ y = x + y}\)
Działanie jest wewnętrzne. \(\displaystyle{ (G, \circ )}\) jest grupą (sprawdziłem łączność, przemienność i istnienie elementu odwrotnego). I teraz, jak sprawdzić czy jest podgrupą jednej z grup z polecenia? Zrobiłem to tak:
\(\displaystyle{ (\RR ,+)}\) to grupa. \(\displaystyle{ G \subset \RR}\). Sprawdzam, czy \(\displaystyle{ (G,+)}\) to grupa (na podstawie kilku przykładów, które sprawdziłem, ale jak to formalnie zapisać?) , stwierdzam że jest grupą, zatem \(\displaystyle{ (G, \circ )}\) jest podgrupą grupy \(\displaystyle{ (\RR,+)}\) . \(\displaystyle{ G}\) nie zawiera się w \(\displaystyle{ \RR \setminus \{0\}}\), zatem grupa \(\displaystyle{ (G, \circ )}\) nie jest podgrupą grupy \(\displaystyle{ ( \RR \setminus \{0\}, \cdot ).}\)

Wszystko powyżej jest w porządku? Czy brakuje jakiegoś warunku sprawdzającego to czy jest podgrupą?

\(\displaystyle{ G = \QQ_+, \ \forall x,y \ \in G \ , x \circ y = x \cdot y}\) Jak wykonać to zadanie w odniesieniu do tego przykładu?

Dziękuję z góry za wszelką pomoc.

[Jan Kraszewski]

Dla przykładu pierwszego:
1. \(\displaystyle{ G = \QQ, \ \forall x,y \ \in G \ , x \circ y = x + y}\)
Działanie jest wewnętrzne.

I to w zasadzie kończy dowód, bo wiemy, że \(\displaystyle{ \QQ\subseteq \RR}\), więc wewnętrzność działania oznacza, że \(\displaystyle{ (\QQ,+)}\) jest podgrupą grupy \(\displaystyle{ (\RR,+)}\) (czyli w szczególności jest grupą - sprawdzanie łączności itd. jest zupełnie zbędne). Natomiast pytanie, czy grupa \(\displaystyle{ (\QQ, + )}\) jest czy nie jest podgrupą grupy \(\displaystyle{ ( \RR \setminus \{0\}, \cdot )}\) nie ma sensu (bo definicja podgrupy wymaga tego samego działania).

\(\displaystyle{ G = \QQ_+, \ \forall x,y \ \in G \ , x \circ y = x \cdot y}\) Jak wykonać to zadanie w odniesieniu do tego przykładu?

Dokładnie tak samo - pokazujesz, że \(\displaystyle{ \QQ_+}\) jest zamknięte na mnożenie i branie elementu odwrotnego, więc jest podgrupą \(\displaystyle{ ( \RR \setminus \{0\}, \cdot )}\) (bo \(\displaystyle{ \QQ_+\subseteq \RR \setminus \{0\}}\)).

JK