Ile jest różnych permutacji n-elementowych rozkładalnych na 2 lub 3 cykle?
Trzeba skorzystać z liczb Stirlinga pierwszego rodzaju. Nie wiem, która odpowiedź jest poprawna:
\(\displaystyle{ s\left( n,\right2) + s\left( n,\right3)}\)
czy
\(\displaystyle{ s\left( n,\right2) + s\left( n,\right3) - s\left( n,\right6)}\)
Podziały i nieporządki
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5703
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 129 razy
- Pomógł: 524 razy
Re: Podziały i nieporządki
Podejrzewam, że obie są złe...
\(\displaystyle{ s(n,k)}\) - oznacza ilość permutacji o k cyklach, ale nic w tym wzorze nie ma na temat długości tych cykli... tam się będą wcinały cykle różnych długości nie tylko dwa i trzy...
\(\displaystyle{ s}\)- ilość cykli o długości dwa...
\(\displaystyle{ t}\)- ilość cykli o długości trzy...
i teraz masz:
\(\displaystyle{ 2s+3t=n}\) ilość rozwiązań takiego równania... tyle będzie podziałów na cykle o strikte takich długościach...
a teraz ile jest permutacji o dokładnie takim podziale:
\(\displaystyle{ \frac{n!}{2^s \cdot s! \cdot 3^t \cdot t!}}\)
teraz to obkładasz znakiem sumy:
\(\displaystyle{ \sum_{2s+3t=n}^{}\frac{n!}{2^s \cdot s! \cdot 3^t \cdot t!}}\)
taki powinien być wynik...
Sprawdź sobie dla małych.: \(\displaystyle{ n=1,2,3,4,5}\) na piechotę, że działa ten wzór...
Nawiasem mówiąc jest to klasa elementów sprzężonych w grupie \(\displaystyle{ S_{n}}\)
\(\displaystyle{ s(n,k)}\) - oznacza ilość permutacji o k cyklach, ale nic w tym wzorze nie ma na temat długości tych cykli... tam się będą wcinały cykle różnych długości nie tylko dwa i trzy...
\(\displaystyle{ s}\)- ilość cykli o długości dwa...
\(\displaystyle{ t}\)- ilość cykli o długości trzy...
i teraz masz:
\(\displaystyle{ 2s+3t=n}\) ilość rozwiązań takiego równania... tyle będzie podziałów na cykle o strikte takich długościach...
a teraz ile jest permutacji o dokładnie takim podziale:
\(\displaystyle{ \frac{n!}{2^s \cdot s! \cdot 3^t \cdot t!}}\)
teraz to obkładasz znakiem sumy:
\(\displaystyle{ \sum_{2s+3t=n}^{}\frac{n!}{2^s \cdot s! \cdot 3^t \cdot t!}}\)
taki powinien być wynik...
Sprawdź sobie dla małych.: \(\displaystyle{ n=1,2,3,4,5}\) na piechotę, że działa ten wzór...
Nawiasem mówiąc jest to klasa elementów sprzężonych w grupie \(\displaystyle{ S_{n}}\)