Niech: \(\displaystyle{ a_{0}=0}\), \(\displaystyle{ a_{1}=1}\), \(\displaystyle{ a_{k}=4 a_{k-2}+k 2^{k}}\) . Dla zadanych warunków wyznacz równanie różnicowe.
Znalazłam rozwiązania równania jednorodnego, którymi są \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ -2}\), jednak nie potrafię tego rozwiązać dalej.
Równanie różnicowe
-
arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Równanie różnicowe
\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{ \infty }a_{k}x^k =4 \sum_{k=2}^{ \infty }a_{k-2}x^k+ \sum_{k=2}^{ \infty }k2^kx^k}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{ \infty }a_{k}x^k=4x^2\sum_{k=2}^{ \infty }a_{k-2}x^{k-2}+ \sum_{k=2}^{ \infty }k2^kx^k}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{ \infty }a_{k}x^k-x=4x^2 \sum_{k=1}^{ \infty }a_{k}x^k+\sum_{k=2}^{ \infty }k2^kx^k}\)
\(\displaystyle{ S(x)=\sum_{k=1}^{ \infty }a_{k}x^k}\)
\(\displaystyle{ S(x)-x=4x^2S(x)+\sum_{k=1}^{ \infty }k2^kx^k-2x}\)
\(\displaystyle{ S(x)(1-4x^2)+x=\sum_{k=1}^{ \infty }k2^kx^k}\)
Inną sprawą jest ta ostatnia suma ale zauważ, że:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{ \infty }k2^kx^k=x\left( \sum_{k=1}^{ \infty }2^kx^k \right)'=}\)
\(\displaystyle{ x\left( \sum_{k=1}^{ \infty }(2x)^k \right)' =\left( \frac{2x^2}{1-2x} \right)'}\)
czyli:
\(\displaystyle{ S(x)(1-4x^2)+x=\left( \frac{2x^2}{1-2x} \right)'}\)
\(\displaystyle{ S(x)(1-4x^2)+x= \frac{4x(x-1)}{(2x-1)^2}}\)
\(\displaystyle{ S(x)= \frac{4x^3+5x}{(4x^2-1)(2x-1)^2}=x \frac{4x^2+5}{(2x+1)(2x-1)^3}}\)
Z rozłożeniem na ułamki proste nie ma problemu...
Może się nie pomyliłem, ale se sprawdź...
\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{ \infty }a_{k}x^k=4x^2\sum_{k=2}^{ \infty }a_{k-2}x^{k-2}+ \sum_{k=2}^{ \infty }k2^kx^k}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{ \infty }a_{k}x^k-x=4x^2 \sum_{k=1}^{ \infty }a_{k}x^k+\sum_{k=2}^{ \infty }k2^kx^k}\)
\(\displaystyle{ S(x)=\sum_{k=1}^{ \infty }a_{k}x^k}\)
\(\displaystyle{ S(x)-x=4x^2S(x)+\sum_{k=1}^{ \infty }k2^kx^k-2x}\)
\(\displaystyle{ S(x)(1-4x^2)+x=\sum_{k=1}^{ \infty }k2^kx^k}\)
Inną sprawą jest ta ostatnia suma ale zauważ, że:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{ \infty }k2^kx^k=x\left( \sum_{k=1}^{ \infty }2^kx^k \right)'=}\)
\(\displaystyle{ x\left( \sum_{k=1}^{ \infty }(2x)^k \right)' =\left( \frac{2x^2}{1-2x} \right)'}\)
czyli:
\(\displaystyle{ S(x)(1-4x^2)+x=\left( \frac{2x^2}{1-2x} \right)'}\)
\(\displaystyle{ S(x)(1-4x^2)+x= \frac{4x(x-1)}{(2x-1)^2}}\)
\(\displaystyle{ S(x)= \frac{4x^3+5x}{(4x^2-1)(2x-1)^2}=x \frac{4x^2+5}{(2x+1)(2x-1)^3}}\)
Z rozłożeniem na ułamki proste nie ma problemu...
Może się nie pomyliłem, ale se sprawdź...