Znaleźć jawne wzory dla ciągów

[Twaro94]

Dzień dobry, mam problem z tym przykładem, zrobiłem go mniej więcej w połowie, ale nie wiem jak dalej. A mianowicie polecenie brzmi:
Znaleźć jawne wzory dla ciągów spełniających warunki rekurencyjne

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{n+2}+2a_{n+1} -3a_{n}=1 \\ a_{0}=0, a_{1}=1 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ a _{n}= a _{n}^{(1)}+a _{n}^{(2)}}\)

Zacząłem od rozwiązania równania jednorodnego:

\(\displaystyle{ a_{n+2}+2a_{n+1} -3a_{n}=0}\)

\(\displaystyle{ x^{n+2}+2x^{n+1} -3x^{n}=0 \left| : x^n \\
x^2+2x-3=0 \\
(x+3)(x-1)=0}\)

Rozwiązaniami równania są:
\(\displaystyle{ x=-3 \vee x=1}\)

Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego to:
\(\displaystyle{ a _{n}^{(1)}= C_{1} \cdot x_{1} ^{n}+C_{2} \cdot x_{2} ^{n} \\
a _{n}^{(1)}= C_{1} \cdot (-3) ^{n}+C_{2} \cdot 1 ^{n}}\)

Teraz biorę się za równanie niejednorodne...i właściwie od czego zacząć? Patrzę na wyraz wolny. Jest nim \(\displaystyle{ 1}\). I co dalej? Proszę o jakieś wskazówki i ewentualnie korekty, jeśli na górze coś źle zapisałem. Z góry dzięki.

Pozdrawiam

[Premislav]

Można przewidzieć rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego postaci \(\displaystyle{ a\cdot n+b}\) dla pewnych \(\displaystyle{ a,b\in \RR}\). Wstawiamy do równania rekurencyjnego i zdaje się wychodzi, że to równanie spełnia \(\displaystyle{ x_n=\frac 1 4 n}\), więc rozwiązanie ogólne rekurencji niejednorodnej jest postaci \(\displaystyle{ C_1\cdot (-3)^n+C_2+\frac 1 4 n}\), teraz korzystasz z: \(\displaystyle{ a_0=0, \ a_1=1}\) i tworzysz układ dwóch równań liniowych z niewiadomymi \(\displaystyle{ C_1, C_2}\), rozwiązujesz to i już.

[Twaro94]

Dziękuję za pomoc. Napisałeś, że można przewidzieć rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego postaci \(\displaystyle{ a\cdot n+b}\) dla pewnych \(\displaystyle{ a,b\in \RR}\). Ale jeżeli wyraz wolny \(\displaystyle{ 1}\) nie byłby rozwiązaniem równania jednorodnego to przewidywane rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego zapisalibyśmy w takiej samej postaci?

[Premislav]

Z uwagi na to, że \(\displaystyle{ 1}\) jest rozwiązaniem równania charakterystycznego dla części jednorodnej, przewidujemy właśnie rozwiązanie szczególne w postaci \(\displaystyle{ a\cdot n+b}\), a nie po prostu rozwiązanie w postaci ciągu stałego. Oczywiście rozwiązanie w postaci ciągu stałego w szczególności jest postaci \(\displaystyle{ a\cdot n+b}\), tylko że dla \(\displaystyle{ a=0}\), ale pewnie nie o to chodziło.-- 27 lis 2018, o 22:25 --PS To zadanie można również rozwiązać z użyciem funkcji tworzących.

[Twaro94]

Czyli jeżeli założylibyśmy że:
Rozwiązaniami równania charakterystycznego dla części jednorodnej są pierwiastki \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 5}\), a \(\displaystyle{ 1}\) jest wyrazem wolnym równania to czy przewidywane rozwiązanie szczególne części niejednorodnej byłoby postaci\(\displaystyle{ a_{n}=b}\)?

[Premislav]

No niepotrzebne byłoby to \(\displaystyle{ a\cdot n}\), w takiej sytuacji, w której \(\displaystyle{ 1}\) nie byłoby rozwiązaniem równania charakterystycznego, poszukiwane rozwiązanie szczególne byłoby ciągiem stałym.-- 27 lis 2018, o 22:39 --Nie edytuje się postów po tym, jak ktoś na nie odpowiedział, ale owszem.