Rozwiązanie równania rekurencyjnego przez funkcję tworzącą

[Angius]

Dany jest ciąg A określony następującym wzorem rekurencyjnym:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{0}=0 \\ a_{1}=1 \\ a_{n}=2a_{n-1}-a_{n-2}: n>2 \end{cases}}\)
Rozwiąż powyższe równanie rekurencyjne za pomocą funkcji tworzących.

Na oko widzę, że będzie to po prostu \(\displaystyle{ a_{n}=n}\), ale jak rozwiącać to przy użyciu funkcji tworzących nie mam pojęcia. Próbowałem coś o nich poczytać, ale w ogóle nie chcą wejśc mi do głowy.

Z góry dzięki!

[Premislav]

\(\displaystyle{ a_{n}=2a_{n-1}-a_{n-2}\\ \sum_{n=2}^{\infty}a_n \ x^n=2 \sum_{n=2}^{\infty}a_{n-1}\ x^n- \sum_{n=2}^{\infty}a_{n-2}x^n\\ \sum_{n=0}^{\infty}a_n \ x^n-a_1 x-a_0=2x\left( \sum_{n=0}^{\infty}a_n \ x^n-a_0 \right) -x^2\left( \sum_{n=0}^{\infty}a_n \ x^n \right)\\(x-1)^2 \sum_{n=0}^{\infty}a_n \ x^n=x\\ \sum_{n=0}^{\infty}a_n \ x^n=\frac{x}{(1-x)^2}}\)
i teraz zauważmy (tw. o różniczkowaniu szeregów potęgowych), że dla \(\displaystyle{ |x|<1}\) jest:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}nx^n=x \sum_{n=1}^{\infty}\left( x^n\right)'=\\=x\left( \sum_{n=0}^{\infty}x^n \right)'=x\cdot \left(\frac{1}{1-x} \right)'=\frac{x}{(1-x)^2},}\)
więc z jednoznaczności rozwinięcia w szereg potęgowy wokół określonego punktu (tutaj \(\displaystyle{ x_0=0}\)) mamy \(\displaystyle{ a_n=n, \ n=0,1\ldots}\)

[Angius]

Dzięki! Spróbuję przeanalizowac to rozwiązanie i może coś z tego wyciągnę. Forum stoi na antycznym sofcie, znaki unicode wywalają błąd bazy danych, więc tak dorzucę:

Kod: Zaznacz cały

U+1F44C