Znaleźć liczbę trójek...

[TobiWan]

Znajdź liczbę różnych trójek liczb naturalnych \(\displaystyle{ (a, b, c)}\) takich, że
\(\displaystyle{ a + 2b + 2c = 180}\).

[Premislav]

Liczba \(\displaystyle{ a=2(90-b-c)}\) musi być parzysta, niech więc \(\displaystyle{ a=2x}\), wówczas dostajemy \(\displaystyle{ x+b+c=90}\) i każde rozwiązanie w naturalnych tego równania odpowiada dokładnie jednemu rozwiązaniu wyjściowego problematu.
A rozwiązań równania \(\displaystyle{ x+b+c=90}\) w naturalnych jest, w zależności od interpretacji,
\(\displaystyle{ {90-1 \choose 3-1}={89\choose 2}}\) jeśli naturalne to całkowite dodatnie, zaś
\(\displaystyle{ {90+2-1\choose 3-1}={91\choose 2}}\), jeśli uznajemy, że \(\displaystyle{ 0\in \NN}\).
BTW zły dział, to zadanie z kombinatoryki, ewentualnie można uznać, że z teorii liczb.

[TobiWan]

\(\displaystyle{ {90-1 \choose 3-1}={89\choose 2}}\) jeśli naturalne to całkowite dodatnie, zaś
\(\displaystyle{ {90+2-1\choose 3-1}={91\choose 2}}\), jeśli uznajemy, że \(\displaystyle{ 0\in \NN}\).

Nie rozumiem skąd to się wzięło.-- 15 lis 2018, o 21:55 --Chwila, nie powinno być?
\(\displaystyle{ {90+2-1\choose 3-1}={90\choose 2}}\), jeśli uznajemy, że \(\displaystyle{ 0\in \NN}\).
Od 0 do 89

[Premislav]

Aha, tam powinno być \(\displaystyle{ {90+{
ed3}-1 choose 3-1}={92choose 2}}\) gdy \(\displaystyle{ 0in NN}\).
Nie chce mi się pisać, tutaj już ładnie i szybko wytłumaczono: 424597.htm

[TobiWan]

Ok, to teraz nie rozumiem skąd jest to:
\(\displaystyle{ {90-1 \choose 3-1}={89\choose 2}}\) jeśli naturalne to całkowite dodatnie
Bo jeżeli jest \(\displaystyle{ {87+3-1 \choose 3-1}={89\choose 2}}\), to skąd 87?

[Premislav]

Podałem wyżej link, w którym wszystko jest wyjaśnione.

Dla mnie łatwą interpretację ma ten przypadek, w którym uznajemy, że \(\displaystyle{ 0\notin \NN}\).
Zapisujemy \(\displaystyle{ n=\overbrace{1+\ldots+1}^n}\) i przedstawiamy to w postaci \(\displaystyle{ k}\) składników (\(\displaystyle{ k\in \NN^+}\)), wybierając \(\displaystyle{ k-1}\) z \(\displaystyle{ n-1}\) przerw między jedynkami, w które wstawimy nawiasy (pomijając nawias otwierający na początku pierwszego składnika i nawias zamykający na końcu ostatniego składnika, które nie zmieniają nigdy pozycji). Nie wpadłbym samodzielnie na takie sprowadzenie przypadku, w którym \(\displaystyle{ 0\in \NN}\), do powyższego przypadku, jak w linku.