Zasada włączeń i wyłączeń

[MultiGumis]

Zadanie należy zrobić za pomocą zbiorów tzn. A - Zbiór tłumaczy posługujących się j.angielskim, N - Zbiór tłumaczy posługujących się j.niemieckim itd.

W grupie 80 tłumaczy kazdy posługuje sie jezykiem angielskim, niemieckim lub rosyjskim:
50 z nich umie jezyk angielski, 45 - niemiecki, a 40 - rosyjski. 27 tłumaczy umie angielski i niemiecki,
a 10 wszystkie trzy jezyki. Ponadto 25 tłumaczy na pewno nie umie jezyka rosyjskiego, ale na pewno
umie niemiecki. Ilu tłumaczy posługuje sie tylko niemieckim? Ilu tłumaczy posługuje sie angielskim lub
niemieckim?

Mógłby mi ktoś wyjaśnić jak zrobić to zadanie? W szczególności nie rozumiem jak mam zapisać ten fragment: Ponadto 25 tłumaczy na pewno nie umie jezyka rosyjskiego, ale na pewno umie niemiecki.

[Premislav]

Ta informacja z „na pewno" daje nam \(\displaystyle{ |N\setminus R|=25}\), gdzie \(\displaystyle{ R}\) to zbiór tłumaczy posługujących się językiem rosyjskim. . A ponieważ \(\displaystyle{ N=(N\setminus R)\cup(N\cap R)}\) i jest to suma rozłączna, to w połączeniu ze znajomością \(\displaystyle{ |N|=45}\) daje nam to łatwo \(\displaystyle{ |N\cap R|=45-25=20}\).
Ponadto mamy
\(\displaystyle{ |A\cup N|=|A|+|N|-|A\cap N|=50+45-27=68}\),
czyli angielski lub niemiecki zna \(\displaystyle{ 68}\) spośród \(\displaystyle{ 80}\) tłumaczy.
Teraz obliczymy, ilu tłumaczy posługuje się jedynie językiem niemieckim.
\(\displaystyle{ |N|=|N\cap R|+|A\cap N|+|N \setminus (A\cup R)|-|A\cap N\cap R|}\)
i już wszystkie liczby stąd, prócz szukanego \(\displaystyle{ |N \setminus (A\cup R)|}\) znamy:
\(\displaystyle{ |N|=45, \ |N\cap R|=20, \ |A\cap N\cap R|=10, \ |A\cap N|=27}\)
Po wstawieniu tego i przekształceniu mamy:
\(\displaystyle{ |N \setminus (A\cup R)|=8}\).

A tutaj masz rysunek pomocniczy:

W obrębie czarnego kółka są tłumacze angielskiego, w obrębie czerwonego kółka – tłumacze rosyjskiego i drogą eliminacji tłumacze niemieckiego to wiadomo już którzy.

[Elayne]

„W grupie 80 tłumaczy każdy posługuje się językiem angielskim, niemieckim lub rosyjskim:”
„... a 10 wszystkie trzy języki.”
Ilu tłumaczy zna trzy języki?

[MultiGumis]

Ta informacja z „na pewno" daje nam \(\displaystyle{ |N\setminus R|=25}\), gdzie \(\displaystyle{ R}\) to zbiór tłumaczy posługujących się językiem rosyjskim. . A ponieważ \(\displaystyle{ N=(N\setminus R)\cup(N\cap R)}\) i jest to suma rozłączna, to w połączeniu ze znajomością \(\displaystyle{ |N|=45}\) daje nam to łatwo \(\displaystyle{ |N\cap R|=45-25=20}\).
Ponadto mamy
\(\displaystyle{ |A\cup N|=|A|+|N|-|A\cap N|=50+45-27=68}\),
czyli angielski lub niemiecki zna \(\displaystyle{ 68}\) spośród \(\displaystyle{ 80}\) tłumaczy.
Teraz obliczymy, ilu tłumaczy posługuje się jedynie językiem niemieckim.
\(\displaystyle{ |N|=|N\cap R|+|A\cap N|+|N \setminus (A\cup R)|-|A\cap N\cap R|}\)
i już wszystkie liczby stąd, prócz szukanego \(\displaystyle{ |N \setminus (A\cup R)|}\) znamy:
\(\displaystyle{ |N|=45, \ |N\cap R|=20, \ |A\cap N\cap R|=10, \ |A\cap N|=27}\)
Po wstawieniu tego i przekształceniu mamy:
\(\displaystyle{ |N \setminus (A\cup R)|=8}\).

A tutaj masz rysunek pomocniczy:

W obrębie czarnego kółka są tłumacze angielskiego, w obrębie czerwonego kółka – tłumacze rosyjskiego i drogą eliminacji tłumacze niemieckiego to wiadomo już którzy.

Dziękuję bardzo za pomoc

[Premislav]

Ojej, na rysunku pomyliłem się w odejmowaniu (drugiego już nie będę wstawiać), przepraszam.
Piętnastu tłumaczy zna tylko język angielski, zaś ośmiu - angielski i rosyjski, lecz nie zna niemieckiego. Wtedy wszystko się zgadza. Na maturze podstawowej z matmy też jeden punkt straciłem przez błąd w odejmowaniu. Na pytania zadane bezpośrednio w zadaniu i odpowiedzi na nie nie ma to żadnego wpływu, ale wolałem napisać dla jasności.

[Elayne]

Powyższa treść zadania jest wypaczona - przynajmniej od czasów Hieronima, tłumaczem jest osoba znająca co najmniej dwa języki.

[Premislav]

Popełniasz błąd logiczny, nic nie wiemy o znajomości języków niewymienionych w zadaniu przez wspomnianych tłumaczy. Poza tym „zadania z kontekstem realistycznym" to tylko zaorać, matematyka to piękna abstrakcja, która czasem się gdzieś przydaje w praktyce, a nie „samo życie".
Już wcześniej napisałem post, w którym implicite cisnąłem bekę z Twojej wypowiedzi (nie z Ciebie jako osoby), ale został uznany za spam i usunięty.

[luotry]

Teraz obliczymy, ilu tłumaczy posługuje się jedynie językiem niemieckim.
\(\displaystyle{ |N|=|N\cap R|+|A\cap N|+|N \setminus (A\cup R)|-|A\cap N\cap R|}\)

Skąd wziął się powyższy fragment, proszę o wytłumaczenie.

[Premislav]

No, z zasady włączeń i wyłączeń właśnie.
Wśród tłumaczy (spośród tych z treści zadania) znających język niemiecki są tacy, którzy znają niemiecki i rosyjski, niemiecki i angielski oraz tylko niemiecki. Jednak dodając moce tych zbiorów (czy też liczności tych grup tłumaczy) otrzymamy więcej, niż wynosi liczba wszystkich tłumaczy z rozważanej grupy znających język niemiecki, a to dlatego, że niektórzy spośród tłumaczy znających niemiecki i jeszcze jakiś język znają trzy języki: niemiecki, angielski i rosyjski. Zliczyliśmy ich więc dwa razy: raz jako przedstawicieli grupy „rosyjsko-niemieckiej", a drugi raz jako członków zgrupowania „angielsko-niemieckiego". Zatem by otrzymać całkowitą liczbę tłumaczy niemieckiego, powinniśmy od sumy tych trzech mocy kawałków odjąć moc zbioru tłumaczy z trzech języków.