Ile spośród liczb naturalnych

[Bratower]

Ile spośród liczb naturalnych od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 10^{2002}}\) ma sumę cyfr równą \(\displaystyle{ 2}\)?
Proszę o jakaś wskazówkę

[Jan Kraszewski]

Jak może wyglądać liczba, która ma sumę cyfr równą \(\displaystyle{ 2}\) ?

JK

[Bratower]

Liczba która ma sumę cyfr równą \(\displaystyle{ 2}\) to: \(\displaystyle{ 2,20,200,2000...}\) oraz \(\displaystyle{ 11,101,110,1001,...}\)
Liczba \(\displaystyle{ 10^{2002}}\) ma sumę cyfr równą \(\displaystyle{ 1}\) więc do rozpatrzenia mam \(\displaystyle{ 2002}\) miejsc w tej liczbie.
Zajmę się najpierw liczbą \(\displaystyle{ 2}\), więc mogę ją postawić na \(\displaystyle{ 2002}\) miejscach czyli jest \(\displaystyle{ \boxed{2002}}\) możliwości.
Następnie liczbę \(\displaystyle{ 1}\) mogę ją postawić na \(\displaystyle{ 2002}\) miejscach odraz drugą jedynkę na \(\displaystyle{ 2001}\) miejscach. Więc możliwości będzie \(\displaystyle{ 2002 \cdot 2001}\), ale nie ma znaczenia kolejność jedynek, więc możliwości będzie \(\displaystyle{ \frac{2001\cdot2002}{2}}\)
Ostatecznie wszystkich opcji będzie \(\displaystyle{ \frac{2001\cdot2002}{2}+2002=2003001+2002=\boxed{2005003}}\)

[a4karo]

Prawie...

W dowodzie brakuje ważnego stwierdzenia, że każda z liczb, które cię interesują ma nie więcej niż \(\displaystyle{ 2002}\) cyfr. Poza tym ok, ale powinieneś rozróżniać pojęcia liczba i cyfra.