Witam mam takie zadanie:
Sa dwa pojemniki w jednym sa 4 biale kule, 3 czarne i 2 zielone, a w drugim pojemniku 2 biale, 5 czarnych i jedna zielona kula. Dla kazdego pojemnika losujemy po jednej kuli. Obicz prawdopodobienstwo wylosowania:
A) kul tego samego koloru.
B) przynajmniej 1 kuli zielonej
C) 2 kul bialych
Prosze o pomoc z tym zadaniem
Kombinacja 2 pojemniki 9 i 8 kul
-
Rafsaf
- Użytkownik
- Posty: 466
- Rejestracja: 19 lut 2017, o 11:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Podkarpacie/Wrocław
- Podziękował: 54 razy
- Pomógł: 80 razy
Re: Kombinacja 2 pojemniki 9 i 8 kul
Można i warto zrobić drzewko, ja zrobię np. b)
b) przynajmniej 1 kulę zieloną oznacza, że w 1 pojemniku mamy zieloną, w 2 jakąkolwiek ale nie zieloną, albo w 1 jakąkolwiek ale nie zieloną a w 2 zieloną, albo w obu zieloną czyli
\(\displaystyle{ P(B)= \frac{2}{9} \cdot \frac{7}{8} + \frac{7}{9} \cdot \frac{1}{8}+ \frac{2}{9}\cdot \frac{1}{8}}\)
b) przynajmniej 1 kulę zieloną oznacza, że w 1 pojemniku mamy zieloną, w 2 jakąkolwiek ale nie zieloną, albo w 1 jakąkolwiek ale nie zieloną a w 2 zieloną, albo w obu zieloną czyli
\(\displaystyle{ P(B)= \frac{2}{9} \cdot \frac{7}{8} + \frac{7}{9} \cdot \frac{1}{8}+ \frac{2}{9}\cdot \frac{1}{8}}\)
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Kombinacja 2 pojemniki 9 i 8 kul
Doświadczenie losowe polega na losowaniu:
- jednej kuli z pojemnika pierwszego, zawierającego: cztery kule białe, trzy kule czarne i dwie kule zielone - etap I.
- jednej kuli z pojemnika drugiego, zawierającego: 2 kule białe, pięć kul czarnych i jedną zieloną- etap II.
Jest to doświadczenie dwuetapowe.
Zakładamy, że losowanie każdej kuli z każdego pojemnika jest jednakowo możliwe i losowania kul z pojemników są niezależne.
Etap I - losowanie kuli z pojemnika pierwszego.
\(\displaystyle{ \Omega_{I} = \{ b,b,b,b, c,c,c, z,z \}}\)
\(\displaystyle{ P_{I}(b) = \frac{|\{b,b,b,b\}|}{|\Omega|} = \frac{4}{9}.}\)
\(\displaystyle{ P_{I}(c) = \frac{|\{c,c,c \}|}{|\Omega|} = \frac{3}{9}.}\)
\(\displaystyle{ P_{I}(z) = \frac{|\{z,z\}|}{|\Omega|} = \frac{2}{9}.}\)
Etap II - losowanie kuli z drugiego pojemnika .
\(\displaystyle{ \Omega_{II} = \{ b,b, c,c,c,c,c, z \}}\)
\(\displaystyle{ P_{II}(b) = \frac{|\{b,b\}|}{|\Omega|} = \frac{2}{8}.}\)
\(\displaystyle{ P_{II}(c) = \frac{|\{c,c,c,c,c\}|}{|\Omega|} = \frac{5}{8}.}\)
\(\displaystyle{ P_{II}(z) = \frac{|\{z\}|}{|\Omega|} = \frac{1}{8}.}\)
a)
\(\displaystyle{ A}\) - zdarzenie wylosowanie kul tego samego koloru:
\(\displaystyle{ P(A) = P((b, b)) + P((c, c))+ P((z, z)) = P_{I}(b)P_{II}(b)+ P_{I}(c)P_{II}(c)+P_{I}(z)P_{II}(z)}\)
\(\displaystyle{ P(A)= \frac{4}{9}\cdot \frac{2}{8}+ \frac{3}{9}\cdot \frac{5}{8}+ \frac{2}{9}\cdot \frac{1}{8}= \frac{8}{72}+ \frac{15}{72}+\frac{2}{72}= \frac{25}{72}}\)
b)
\(\displaystyle{ B}\) - zdarzenie wylosowanie przynajmniej jednej kuli zielonej.
(przynajmniej jednej, to znaczy dokładnie jednej lub dwóch kul zielonych)
\(\displaystyle{ P(B) = P((z,c)) + P((c,z)) + P((z,b)) +P((b,z))+ P((z,z)) =P_{I}(z)P_{II}(c)+ P_{I}(c)P_{II}(z)+P_{I}(z)P_{II}(b) +P_{I}(b)P_{II}(z)+ P_{I}(z)P_{II}(z)}\)
Możemy obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego
\(\displaystyle{ B'}\) - nie wylosowano ani jednej kuli zielonej i skorzystać ze wzoru:
\(\displaystyle{ P(B) = 1 - P(B')}\)
c)
\(\displaystyle{ C}\) -zdarzenie wylosowanie dwóch kul białych
\(\displaystyle{ P(C) = P((b,b)) = P_{I}(b)P_{II}(b).}\)
a)
Interpretacja otrzymanej wartości prawdopodobieństwa zdarzenia \(\displaystyle{ A}\)
W wyniku realizacje doświadczenia dwuetapowego, należy oczekiwać, że w około \(\displaystyle{ 35\%}\) wszystkich jego realizacji wylosujemy dwie kule jednego koloru.
Proszę podstawić dane liczbowe i obliczyć wartości prawdopodobieństw zdarzeń \(\displaystyle{ B, C}\) oraz podać ich interpretację częstościową.
- jednej kuli z pojemnika pierwszego, zawierającego: cztery kule białe, trzy kule czarne i dwie kule zielone - etap I.
- jednej kuli z pojemnika drugiego, zawierającego: 2 kule białe, pięć kul czarnych i jedną zieloną- etap II.
Jest to doświadczenie dwuetapowe.
Zakładamy, że losowanie każdej kuli z każdego pojemnika jest jednakowo możliwe i losowania kul z pojemników są niezależne.
Etap I - losowanie kuli z pojemnika pierwszego.
\(\displaystyle{ \Omega_{I} = \{ b,b,b,b, c,c,c, z,z \}}\)
\(\displaystyle{ P_{I}(b) = \frac{|\{b,b,b,b\}|}{|\Omega|} = \frac{4}{9}.}\)
\(\displaystyle{ P_{I}(c) = \frac{|\{c,c,c \}|}{|\Omega|} = \frac{3}{9}.}\)
\(\displaystyle{ P_{I}(z) = \frac{|\{z,z\}|}{|\Omega|} = \frac{2}{9}.}\)
Etap II - losowanie kuli z drugiego pojemnika .
\(\displaystyle{ \Omega_{II} = \{ b,b, c,c,c,c,c, z \}}\)
\(\displaystyle{ P_{II}(b) = \frac{|\{b,b\}|}{|\Omega|} = \frac{2}{8}.}\)
\(\displaystyle{ P_{II}(c) = \frac{|\{c,c,c,c,c\}|}{|\Omega|} = \frac{5}{8}.}\)
\(\displaystyle{ P_{II}(z) = \frac{|\{z\}|}{|\Omega|} = \frac{1}{8}.}\)
a)
\(\displaystyle{ A}\) - zdarzenie wylosowanie kul tego samego koloru:
\(\displaystyle{ P(A) = P((b, b)) + P((c, c))+ P((z, z)) = P_{I}(b)P_{II}(b)+ P_{I}(c)P_{II}(c)+P_{I}(z)P_{II}(z)}\)
\(\displaystyle{ P(A)= \frac{4}{9}\cdot \frac{2}{8}+ \frac{3}{9}\cdot \frac{5}{8}+ \frac{2}{9}\cdot \frac{1}{8}= \frac{8}{72}+ \frac{15}{72}+\frac{2}{72}= \frac{25}{72}}\)
b)
\(\displaystyle{ B}\) - zdarzenie wylosowanie przynajmniej jednej kuli zielonej.
(przynajmniej jednej, to znaczy dokładnie jednej lub dwóch kul zielonych)
\(\displaystyle{ P(B) = P((z,c)) + P((c,z)) + P((z,b)) +P((b,z))+ P((z,z)) =P_{I}(z)P_{II}(c)+ P_{I}(c)P_{II}(z)+P_{I}(z)P_{II}(b) +P_{I}(b)P_{II}(z)+ P_{I}(z)P_{II}(z)}\)
Możemy obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego
\(\displaystyle{ B'}\) - nie wylosowano ani jednej kuli zielonej i skorzystać ze wzoru:
\(\displaystyle{ P(B) = 1 - P(B')}\)
c)
\(\displaystyle{ C}\) -zdarzenie wylosowanie dwóch kul białych
\(\displaystyle{ P(C) = P((b,b)) = P_{I}(b)P_{II}(b).}\)
a)
Interpretacja otrzymanej wartości prawdopodobieństwa zdarzenia \(\displaystyle{ A}\)
W wyniku realizacje doświadczenia dwuetapowego, należy oczekiwać, że w około \(\displaystyle{ 35\%}\) wszystkich jego realizacji wylosujemy dwie kule jednego koloru.
Proszę podstawić dane liczbowe i obliczyć wartości prawdopodobieństw zdarzeń \(\displaystyle{ B, C}\) oraz podać ich interpretację częstościową.