Oblicz sumę (współczynniki dwumianowe)

[elelel]

Oblicz \(\displaystyle{ {n \choose 0} + \frac{1}{2} {n \choose 1} + \frac{1}{3}{n \choose 2} + \dots + \frac{1}{n+1}{n \choose n}}\). Chodzi najpewniej o podanie wzoru.

[kerajs]

\(\displaystyle{ {n+1 \choose k+1} = \frac{n+1}{k+1} {n \choose k} \\
\\
{n \choose 0} + \frac{1}{2} {n \choose 1} + \frac{1}{3}{n \choose 2} + \dots + \frac{1}{n+1}{n \choose n}= \frac{n+1}{n+1} \left( {n \choose 0} + \frac{1}{2} {n \choose 1} + \frac{1}{3}{n \choose 2} + \dots + \frac{1}{n+1}{n \choose n}\right)=\\=\frac{1}{n+1} \left( (n+1){n \choose 0} + \frac{n+1}{2} {n \choose 1} + \frac{n+1}{3}{n \choose 2} + \dots + \frac{n+1}{n+1}{n \choose n}\right) =\\=
\frac{1}{n+1} \left( {n+1 \choose 1} + {n+1 \choose 2} + {n+1 \choose 3} + \dots +{n+1 \choose n+1}\right) =\frac{1}{n+1} \left( 2^{n+1}-1\right)}\)

[Premislav]

^Warta zapamiętania tożsamość. Można też skorzystać z rachunku całkowego:
mamy
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k}t^k= \sum_{k=0}^{n} {n \choose k}t^k1^{n-k}=(t+1)^n}\)
ze wzoru dwumianowego Newtona i całkując tę równość stronami w granicach od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ 1}\) dostajemy
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k+1}{n \choose k}=\frac{1}{n+1}\cdot 2^{n+1}-\frac{1}{n+1}}\).