Suma sześcianów kolejnych liczb naturalnych

[XYZmat]

Wiedząc, że \(\displaystyle{ 1+2+...+n= \frac{n(n+1)}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ 1^{2}+ 2^{2}+...+ n^{2}= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}\) wyznacz wzór na \(\displaystyle{ 1^{3}+2^{3}+...+n^{3}}\)

[Janusz Tracz]

Zauważ że \(\displaystyle{ \forall \left( k\in\NN\right)}\) mamy

\(\displaystyle{ \left( k+1\right)^4-k^4=4k^3+6k^2+4k+1}\)

A skoro jest tak dla każdego \(\displaystyle{ k}\) naturalnego to można zsumować stronami po tych \(\displaystyle{ k}\) zapisując

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \left( \left( k+1\right)^4-k^4\right)=4{\red{\sum_{k=1}^{n}k^3}}+6\sum_{k=1}^{n}k^2+4\sum_{k=1}^{n}k+\sum_{k=1}^{n}1}\)

Lewa strona teleskopuje się a prawa jest podana jako wiadomo oprócz szukanej czerwonej sumy. Czy dalej wiesz jak to zrobić?

[XYZmat]

Po przekształceniach mam:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \left( \left( k+1\right)^4-k^4\right)=4{\red{\sum_{k=1}^{n}k^3}}+n(2n^{2}+5n+4)}\)
Jednak nie bardzo wiem co masz na myśli mówiąc, że lewa strona się zredukuje, więc nie wiem jak to dalej poprowadzić

[Janusz Tracz]

To wypisz kilka pierwszych wyrazów i ostatni tej sumy. Zobaczysz że cały środek jest nie istotny i się ładnie redukuje.

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \left( \left( k+1\right)^4-k^4\right)=\left( 2^4-1^4\right)+\left( 3^4-2^4\right)+\left( 4^4-3^4\right)+...+\left( \left( n+1\right)^4-n^4\right)}\)

I zauważ że wszystko się redukuje z wyjątkiem \(\displaystyle{ -1}\) oraz \(\displaystyle{ \left( n+1\right)^4}\) zostanie więc

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \left( \left( k+1\right)^4-k^4\right)=\left( n+1\right)^4-1}\)

Dlatego zapiszemy że

\(\displaystyle{ \left( n+1\right)^4-1=4{\red{\sum_{k=1}^{n}k^3}}+n(2n^{2}+5n+4)}\)

teraz już na pewno sobie poradzisz z wyciągnięciem z tego czerwonej interesującej sumy.

[XYZmat]

Jak najbardziej, dziękuję

[Rafsaf]

Albo można jeśli się jest mniej bystrym, jak ja, spróbować przedstawić taką sumę w postaci zwartej niekoniecznie specjalnie "zauważając" cokolwiek(więcej czasu by kosztowało, ale można zawsze odtworzyć kiedyś ten sposób przy innych prostych sumach, a nawet jeśli nie, to przypomnieć sobie że był taki temat), korzystając z pomysłu z tego artykułu:

https://matematyka.pl/258562.htm