Zsumować współczynniki Dwumianu Newtona

[Zacny_Los]

W jaki sposób zsumować:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {2n+1 \choose k}}\)?

[a4karo]

A potrafisz policzyć \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{2n+1} {2n+1 \choose k}}\)?

Teraz popatrz na nieparzyste wiersze w trójkącie Pascala i zauważ symetrię

[Zacny_Los]

Wiem, że \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{2n+1} {2n+1 \choose k} = 1+2n+1+...+1}\). Widzę, że jest to symetryczne, także dlatego, że \(\displaystyle{ 2n+1}\) w dwumianie wskazuje na nieparzysty rząd trójkąta Pascala w którym wyrazy są symetryczne.
Mam też podany rozwiązany przykład \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} 1^{n-k} \cdot 1^{k} = (1+1)^{k} = 2^{n}}\), ale nie bardzo potrafię z niego wyciągnąć pomoc czy wskazówkę do rozwiązania mojego problemu.

[a4karo]

A co dostaniesz, jak w tym wzorku: \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} 1^{n-k} \cdot 1^{k} = (1+1)^{k} = 2^{n}}\) zamienisz \(\displaystyle{ n}\) na \(\displaystyle{ 2n+1}\)?

Wiesz co przedstawia ten wzór?

[Zacny_Los]

No właśnie nie bardzo...
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {2n+1 \choose k}}\) jest o tyle konfundujące, że w jednym miejscu jest n, a w innym 2n+1.

Podejrzewam, że \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{2n+1} {2n+1 \choose k} = 2^{2n+1}}\)?

[a4karo]

No właśnie tak. Jak zmieniać, to wszędzie.-- 11 paź 2018, o 18:23 --A może sobie weźmiesz np \(\displaystyle{ n=3}\) i napisz to wyrażenie nie używając znaku sumy?

[Zacny_Los]

Ok, za drugim razem zrozumiałem — \(\displaystyle{ n=3}\) nie tylko w znaku sumy, ale i w dwumianie, zatem mamy:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{3} {7 \choose k}= {7 \choose 0} + {7 \choose 1} + {7 \choose 2} + {7 \choose 3} = 1+7+21+35=64= 2^{6}=4^{3}}\)
Zatem \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {2n+1 \choose k} = 4^{n}}\)

Teraz widzę też, że w trójkącie Pascala 7. rząd - kolejne miejsca od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ 3}\) to kolejno \(\displaystyle{ 1, 7, 21, 35.}\) Suma tych wyrazów pomnożona razy \(\displaystyle{ 2}\) (symetria!) daje \(\displaystyle{ 64 \cdot 2=128}\), co jest dwa do potęgi \(\displaystyle{ 7}\) (jak \(\displaystyle{ 7}\) rząd!), czyli nasze \(\displaystyle{ n}\).

Podsumowując ten mój potok myśli Chyba cały czas próbowałem rozważać \(\displaystyle{ n}\) w znaku sumy i \(\displaystyle{ n}\) w dwumianie w oderwaniu od siebie. Wygląda na to, że chyba zrozumiałem swój błąd i na czym to polega .
Dzięki za doprowadzenie mnie do tego momentu

[a4karo]

Zapamiętaj naukę: oznaczanie dwóch obiektów tym samym symbolem zwykle prowadzi do katastrofy. Dlatego oba \(\displaystyle{ n}\) muszą oznaczać to samo.

Powodzenia