6 wież na szachownicy 6 x 6

[tauben]

Czy na szachownicy 6 x 6 uda się postawić 6 niebijących się wież, z tym że 3 stoją na czarnych polach a 3 pozostałe na białych.

[kerajs]

Gdy ponumeruję rzędy i kolumny liczbami od 1 do 6 to każde pole jednego koloru będzie miało parzystą sumę indeksów (numerów rzędu i kolumny na przecięciu których lezy), a każde pole drugiego koloru ma sumę nieparzystą. 6 niebijących się wież wykorzystuje jednokrotnie wszystkie indeksy rzędów i kolumn a ich suma jest parzysta \(\displaystyle{ 2(1+2+3+4+5+6)}\). Dlatego ustawienie 6 niebijących się wież na trzech polach czarnych i trzech białych nie jest możliwe, gdyż suma ich wszystkich indeksów jest nieparzysta.


Problem można rozszerzyć na szachownice 4Nx4N (ustawienie jest możliwe) oraz (4N+2)x(4N+2) (ustawienie nie jest możliwe)

[a4karo]

Problem można rozszerzyć na szachownice 4Nx4N (ustawienie jest możliwe)

Z podanego rozumowania to nie wynika. Poprosimy o dowod

[kerajs]

Fakt, powyższe rozumowanie wykazuje jedynie niemożność ustawienia niebijących się wież na \(\displaystyle{ 2N+1}\) polach białych i \(\displaystyle{ 2N+1}\) polach czarnych na szachownicy \(\displaystyle{ (4N+2)\times(4N+2)}\).

Dla szachownic \(\displaystyle{ 4N\times 4N}\) suma wszystkich indeksów białych pól zajętych przez wieże, podobnie jak pól czarnych, jest parzysta więc nie wiadomo czy istnieje możliwość ustawienia wież. Rozstrzygającym będzie podanie przykładowego układu wież spełniającego treść zadania.
Szachownicę \(\displaystyle{ 4N \times 4N}\) dzielę na cztery szachownice \(\displaystyle{ 2N \times 2N}\) i wybieram dwie które nie sąsiadują ze sobą bokiem. Na jednej z nich wieże ustawiam na diagonali o polach białych, a na drugiej wieże ustawiam na diagonali o polach czarnych.
Takiego podziału nie można zastosować dla szachownic \(\displaystyle{ (4N+2) \times (4N+2)}\) gdyż uzyskane z podziału cztery szachownice \(\displaystyle{ (2N+1) \times (2N+1)}\) mają obie przekątne w tym samym kolorze.


PS
Dorzucone w poprzednim poscie zdanie o innych szachownicach, miało być potencjalnym ćwiczeniem dla autora tematu. Stąd i odpowiedzi podane w nawiasach.