n harcerzy i k plecaków

[FaloZ]

Harcerze w liczbie \(\displaystyle{ n}\) wybierają się na wycieczkę piszą szykiem "gęsiego" mając do podziału \(\displaystyle{ k \le n}\) różnych plecaków. Iloma sposobami mogą się ustawić wyruszając w drogę, biorąc pod uwagę różne możliwości plecaków?

Odpowiedź, którą podaje książka wynosi \(\displaystyle{ n!^{2}(n-k)!}\), jednak nie mogę zrozumieć dlaczego. Moje rozumowanie jest następujące:

Harcerze idą gęsiego, zatem mamy tutaj zwykłą permutację bez powtórzeń, czyli \(\displaystyle{ n!}\). Dalej pojawia się problem. Zarówno harcerze, jak i plecaki są rozróżnialne. Jeżeli rozpatrzymy sytuacje, w której harcerze nie permutują, to mamy wariacje bez powtórzeń, ponieważ plecaki rozdajemy różnym harcerzom, a kolejność ma znaczenie, ponieważ istotnym kto dostanie jaki plecak. Zatem teoretycznie mielibyśmy \(\displaystyle{ \frac{n!}{(n-k)!}}\). Chyba pogubiłem się w rozumowaniu i nie mogę znaleźć poprawnej drogi do rozwiązania tego problemu, także prosiłbym o rozwiązanie bądź o jakąś konkretną wskazówkę.

[Gouranga]

Po mojemu najpierw \(\displaystyle{ k}\) plecakom przypisujesz harcerzy na \(\displaystyle{ \frac{n!}{(n-k)!}}\) sposobów, potem mnożysz przez \(\displaystyle{ n!}\) żeby permutować harcerzy