Problem ze zrozumieniem wyrażenia

[Scoler]

Mam takie zadanie:

\(\displaystyle{ \Delta^{4}(4^{t})}\) wynosi:

ale nie wiem co to tak w ogóle znaczy. Byłym wdzięczny gdyby ktoś mi napisał jak się takie coś nazywa. Może uda mi się coś znaleźć na ten temat.

[Premislav]

Patrz: operator różnicowy.

[Scoler]

Dobrze zrobiłem?

\(\displaystyle{ \Delta^{4}(4^{t}) = (4^{t+1} - 4^{t})^{4} = (4^{t} \cdot 4 - 4^{t})^{4} = (4^{t}(4 - 1))^{4}=(4^{t} \cdot 3)^{4}}\)

edit:
Ok źle. Już chyba sczaiłem zaraz napisze

edit:
Może nie będę tego rozpisywał, ale wyszło mi \(\displaystyle{ 4^{t} \cdot 3^{4}}\)

[Janusz Tracz]

Niedobrze, bo \(\displaystyle{ \Delta^{4} \cdot}\) oznacza czterokrotne złożenie operatora rocznicowego a nie podnoszenie do czwartej potęgi. Potęgowanie było by zapisane \(\displaystyle{ \left( \Delta 4^t\right)^4}\).

\(\displaystyle{ \Delta^{4}\left( 4^t\right)=\Delta\left( \Delta\left( \Delta\left( \Delta 4^t\right) \right) \right)}\)

Gdzie

\(\displaystyle{ \Delta 4^t=4^{t+1}-4^t=3 \cdot 4^t}\)

więc całość upraszcza się do \(\displaystyle{ \Delta\left( \Delta\left( \Delta 3 \cdot 4^t \right) \right)}\) a to z kolei uprościmy powielając tą operacje

\(\displaystyle{ \Delta3 \cdot 4^t=3\cdot 4^{t+1}-3 \cdot 4^t=9 \cdot 4^t}\)

więc

\(\displaystyle{ \Delta\left( \Delta 9 \cdot 4^t \right)}\)

No i dalej liczmy od środka \(\displaystyle{ \Delta 9 \cdot 4^t = 27 \cdot 4^t}\) i na koniec jeszcze raz

\(\displaystyle{ \Delta^{4}\left( 4^t\right)=81 \cdot 4^t}\)

-- 12 wrz 2018, o 09:23 --

Edit: Dobrze Ci wyszło w takim razie.