dzielniki liczby 2570

[poetaopole]

Ile dzielników ma liczba 3570?

[Janusz Tracz]

Każdą liczbę naturalną można przedstawić jako iloczyn \(\displaystyle{ p_1^{k_1}p_2^{k_2} \cdot ... \cdot p_m^{k_m}}\) wtedy ilość dzielników będzie równa \(\displaystyle{ \left( k_1+1\right)\left( k_2+1\right) \cdot ... \cdot \left( k_m+1\right)}\).

\(\displaystyle{ 2570=2 \cdot 5 \cdot 257}\)

Więc liść dzielników jest równa \(\displaystyle{ \left( 1+1\right)\left( 1+1\right)\left( 1+1\right)=8}\)

[poetaopole]

Zmieniłem liczbę 2570 na 3570 (poprzednio była "literówka" pierwszej cyfry)

[Janusz Tracz]

Teraz gdy masz ogólny przepis jak to robić to początkowa liczba nie ma większego znaczenie.

\(\displaystyle{ 3570=2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 17}\)

więc dzielników jest \(\displaystyle{ \left( 1+1\right)^5=32}\). Jest to przypadek szczególny powyższego ogólnego wzoru na liczbę dzielników. Gdy w rozkładzie liczby \(\displaystyle{ n}\) na iloczyn liczb pierwszych każda z liczb pierwszych występuje w pierwszej potędze to jest \(\displaystyle{ \forall k_i=1}\) to liczba dzielników jest równa \(\displaystyle{ 2^m}\). Można to uzasadnić tworząc bijektywne przyporządkowanie pomiędzy liczbami pierwszymi z rozkładu a ciągami zer i jedynek. Kładąc zero jeśli liczba pierwsza nie wchodzi do dzielnika i jedynkę w przeciwnym razie. Takich wyborów dokonujemy \(\displaystyle{ 2^m}\) razy stąd przypadek szczególny tego wzoru.

[poetaopole]

Czyli, gdy żaden dzielnik się nie powtarza, tak?

[Janusz Tracz]

Nie dzielnik tylko liczba pierwsza w rozkładzie występuje w pierwszej potędze, to trochę inny warunek. Czyli gdy mamy do czynienia z liczbą postaci:

\(\displaystyle{ n=p_1 \cdot p_2 \cdot ... \cdot p_m}\)

jest to szczególny przykład bo ogólnie liczby są postaci \(\displaystyle{ p_1^{k_1}p_2^{k_2} \cdot ... \cdot p_m^{k_m}}\), ale gdy już mamy taki szczególny rozkład to dzielników jest \(\displaystyle{ 2^m}\).

liczba \(\displaystyle{ 3570=2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 17}\) spełnia założenia takiego szczególnego warunku. Rozkłada się na iloczyn piciu liczb pierwszych więc dzielników jest \(\displaystyle{ 2^5=32}\)