Okrągły stół z rodzicami i dziećmi

[poetaopole]

Przy okrągłym stole przydzielono w sposób losowy miejsca 10 osobom, wśród tych osób są rodzice i trójka ich dzieci. Ile jest sposobów przydziału miejsc przy tym stole tak, aby dzieci siedziały bezpośrednio między rodzicami?
(nawiasem mówiąc, uważam, że słowo bezpośrednio nieszczególnie tutaj pasuje, bo co np. znaczyłby tutaj antonim pośrednio? Ale to już szczegół.)
Druga sprawa, to wydaje mi się, że inna będzie ilość przydziału miejsc, jeżeli Okrągły Stół potraktujemy jako karuzelę (nie mylić z karuzelą VATowską), a inna, w przeciwnym wypadku. Mógłby się ktoś odnieść do tego?
Ja bym obliczył to tak: rodzice:\(\displaystyle{ 2!}\), dzieci: \(\displaystyle{ 3!}\), pozostałe 5 osób: \(\displaystyle{ 5!}\), czyli \(\displaystyle{ 2! \cdot 3! \cdot 5!}\). Co wy na to?

[kerajs]

\(\displaystyle{ il= \frac{ 6!2!3!}{6}}\)

Rodziców z dziećmi traktujesz jak jedną grupę która z pozostałymi \(\displaystyle{ 5}\) osobami permutuje na \(\displaystyle{ 6!}\) sposobów. W grupie rodzice siedzący na brzegach mogą usiąść na \(\displaystyle{ 2!}\) sposoby a trójka dzieci między nimi może usiąść na \(\displaystyle{ 3!}\) sposobów. Ponieważ to okrągły stół to ilość dzielisz przez \(\displaystyle{ 6}\), czyli ilość takich samych zestawów sąsiadujących 5 osób i grupy.

Można też tak:
\(\displaystyle{ il= \frac{10 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{10}}\)
Tatuś ma do wyboru \(\displaystyle{ 10}\) miejsc, Mamusia \(\displaystyle{ 2}\), dzieci kolejno \(\displaystyle{ 3,2,1}\) a pozostałe osoby \(\displaystyle{ 5,4,3,2,1}\).
Ponieważ to okrągły stół to ilość dzielisz przez \(\displaystyle{ 10}\), czyli ilość takich samych zestawów sąsiadujących 10 osób, ale różniących się obrotem ( w praktyce jednak ma znaczenie czy siedzisz w wygodnym fotelu, czy dostawionym krześle przy wejściu do kibelka).

[poetaopole]

No to mamy te same wyniki. Przyjąłem taką "podręcznikową" zasadę: 2 rozmieszczenia przy okrągłym stole uznajemy za różne, jeżeli w tych rozmieszczeniach co najmniej jedna osoba ma różnych sąsiadów. (czyli rodzina nie "kręci" się w kółko, bo przy takiej karuzeli i tak miałaby tych samych sąsiadów. Dobrze myślę KERAJS?

[kerajs]

Dobrze, dobrze.
Dokładnie to samo miałem na myśli pisząc o obrotach, i z tego też powodu w rozwiązaniach które zamieściłem pojawia się dzielenie.