Przekątne ośmiokąta

[Ewa 20]

Przekątne ośmiokąta wypukłego mają tę własność, że żadne trzy nie przecinają się w jednym punkcie. W ilu punktach przecinają się przekątne tego wielokąta?

[Sir George]

Każda przekątna wypukłego n-kąta dzieli wierzchołki na dwa podzbiory: k-elementowy i n-k-2 -elementowy, gdzie 1≤k≤n-3. Przy ustalonym k przekątnych o tej własnosności jest dokładnie n. A przecinają ją przekątne łączące wierzchołki z przeciwległych zbiorów (takich przekątnych jest k(n-k-2) ). Pamiętając o tym, że przecięcie liczymy podwójnie (z punktu "widzenia" każdej przekątnej), liczba przecięć wynosi dokładnie
\(\displaystyle{ \frac12\cdot n\,\cdot\,\sum_{k=1}^{n-3}k(n-k-2)\ =\ \ldots\ =\ \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{12}\ =\ 2{n\choose4}}\)


Pozdrawiam

[jovante]

Po pierwsze nie można tego zadania uogólnić na dowolny wypukły n-kąt, bo np. dla sześciokąta foremnego trzy przekątne mogą przeciąć się w jednym punkcie. Po drugie wynik jest niepoprawny (choć to akurat można łatwo poprawić).

Ponieważ każde cztery różne wierzchołki ośmiokąta wypukłego jednoznacznie (co mamy zagwarantowane w treści zadania) wyznaczają jeden punkt przecięcia się odpowiednich przekątnych, to takich punktów jest \(\displaystyle{ {8 \choose 4}}\).