Ciąg rekurencyjny - zadanie

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
Arika
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 26 lut 2005, o 13:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wisznice

Ciąg rekurencyjny - zadanie

Post autor: Arika »

Wykaż że ciąg (\(\displaystyle{ a_{n}}\)) określony wzroem rekurencyjnym jest rosnący

\(\displaystyle{ a_{1}=1}\),
\(\displaystyle{ a_{n+1}=a_{n}+\frac{2}{a_{n}}}\)
Awatar użytkownika
g
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1552
Rejestracja: 21 sie 2004, o 16:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 59 razy

Ciąg rekurencyjny - zadanie

Post autor: g »

\(\displaystyle{ a_{n+1} - a_n = {2 \over a_n}}\)
roznica ciagu musi byc dodatnia zeby byl rosnacy.
wystaczy zatem dowiesc, ze \(\displaystyle{ {2 \over a_n}>0}\), a to zachodzi gdy \(\displaystyle{ a_n>0}\). czyli wystarczy dowiesc ze wszystkie wyrazy ciagu sa dodatnie. dowiedz tego indukcyjnie. zaloz, ze wszystkie wyrazy ciagu o indeksach od 1 do n sa dodatnie i na tej podstawie udowodnij ze \(\displaystyle{ a_{n+1}>0}\). to juz proste.
ODPOWIEDZ