Wykaż że ciąg (\(\displaystyle{ a_{n}}\)) określony wzroem rekurencyjnym jest rosnący
\(\displaystyle{ a_{1}=1}\),
\(\displaystyle{ a_{n+1}=a_{n}+\frac{2}{a_{n}}}\)
Ciąg rekurencyjny - zadanie
- g
- Użytkownik
- Posty: 1552
- Rejestracja: 21 sie 2004, o 16:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 59 razy
Ciąg rekurencyjny - zadanie
\(\displaystyle{ a_{n+1} - a_n = {2 \over a_n}}\)
roznica ciagu musi byc dodatnia zeby byl rosnacy.
wystaczy zatem dowiesc, ze \(\displaystyle{ {2 \over a_n}>0}\), a to zachodzi gdy \(\displaystyle{ a_n>0}\). czyli wystarczy dowiesc ze wszystkie wyrazy ciagu sa dodatnie. dowiedz tego indukcyjnie. zaloz, ze wszystkie wyrazy ciagu o indeksach od 1 do n sa dodatnie i na tej podstawie udowodnij ze \(\displaystyle{ a_{n+1}>0}\). to juz proste.
roznica ciagu musi byc dodatnia zeby byl rosnacy.
wystaczy zatem dowiesc, ze \(\displaystyle{ {2 \over a_n}>0}\), a to zachodzi gdy \(\displaystyle{ a_n>0}\). czyli wystarczy dowiesc ze wszystkie wyrazy ciagu sa dodatnie. dowiedz tego indukcyjnie. zaloz, ze wszystkie wyrazy ciagu o indeksach od 1 do n sa dodatnie i na tej podstawie udowodnij ze \(\displaystyle{ a_{n+1}>0}\). to juz proste.