Zasada włączania wyłączania

[Warden1234]

Witam!
Prosiłbym o pomoc w tych zadaniach:
1)
\(\displaystyle{ \left| A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3}\right| = 20}\)
\(\displaystyle{ \left| A_{1}\right| = 4, \left| A_{2}\right| = 10, \left| A_{3}\right| = 8}\)
\(\displaystyle{ \left| A_{1} \cap A_{2} \right| = 2\left| A_{1} \cap A_{3} \right| = 2\left| A_{2} \cap A_{3} \right|}\)

Należy obliczyć \(\displaystyle{ \left| A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3}\right|}\)
Rozumiem, że należy wykorzystać zasadę włączania-wyłączania, ale nie potrafię doprowadzić zadania do końca.
2)
Uzasadnić \(\displaystyle{ \forall_{0 \le k \le n-1} {n \choose k} + {n \choose k+1} = {n+1 \choose k+1}}\)
Nie rozumiem zadań tego typu. Czy zna ktoś źródła, które wyjaśniają jak rozwiązać podobne przykłady?
Z góry dziękuję!

[kerajs]

1) Przy tej treści zadanie nie ma rozwiązania.

Ukryta treść:    

Niech \(\displaystyle{ \left| A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3}\right|=y}\) oraz \(\displaystyle{ \left| \left( A_{1} \cap A_{3}\right) \setminus A_{2}\right|=x}\) .
Wtedy:
\(\displaystyle{ \left| \left( A_{1} \cap A_{2}\right) \setminus A_{2}\right|=2x+y}\)
\(\displaystyle{ \left| \left( A_{2} \cap A_{3}\right) \setminus A_{1}\right|=x}\)
\(\displaystyle{ \left| A_{1} \setminus \left( A_{2} \cup A_{3}\right) \right| = 4-3x-2y}\)
\(\displaystyle{ \left| A_{2} \setminus \left( A_{1} \cup A_{3}\right) \right| = 10-3x-2y}\)
\(\displaystyle{ \left| A_{3} \setminus \left( A_{1} \cup A_{2}\right) \right| = 8-2x-y}\)
Graficzka, coby powyższe było zjadliwsze:
\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}
\draw[blue](3,3)circle(2);
\draw[red](5,3)circle(2);
\draw[green](4,1.5)circle(2);
\draw (4,2.5) node {$ y $};
\draw (2,3.5) node {$ 4-3x-2y $};
\draw (6,3.5) node {$ 10-3x-2y $};
\draw (4,0.4) node {$ 8-2x-y $};
\draw (4,4) node {$ 2x+y $};
\draw (3,1.9) node {$ x $};
\draw (5,1.9) node {$ x $};
\draw (1.8,4.8) node {$ A_1 $};
\draw (6.2,4.8) node {$ A_2 $};
\draw (2.5,0) node {$ A_3 $};
\end{tikzpicture}}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ \left| A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3}\right| = (y)+(x)+(2x+y)+(x)+(4-3x-2y)+(10-3x-2y)+(8-2x-y)}\)
\(\displaystyle{ 20=22-4x-3y\\
4x+3y=2}\)
A to równanie nie ma rozwiązania w liczbach naturalnych

Inaczej:
Z zasady włączeń i wyłączeń:
\(\displaystyle{ \left| A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3}\right| =\left| A_{1}\right| + \left| A_{2}\right| + \left| A_{3}\right|-\left| A_{1} \cap A_{2} \right| -\left| A_{1} \cap A_{3} \right| -\\-\left| A_{2} \cap A_{3} \right|+\left| A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3}\right|}\)
Stosując oznaczenia jak wyżej mam:
\(\displaystyle{ 20=4+10+8-(2x+2y)-(x+y)-(x+y)+y\\
4x+3y=2}\)
A to równanie nie ma rozwiązania w liczbach naturalnych

2)
\(\displaystyle{ L= {n \choose k}+ {n \choose k+1}= \frac{n!}{k!(n-k)!} + \frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!} =\\=
\frac{n!(k+1)}{k!(n-k)!(k+1)} + \frac{n!(n-k)}{(k+1)!(n-k-1)!(n-k)}=\frac{n!\left[ (k+1)+(n-k)\right] }{(k+1)!(n-k)!}=\\=\frac{n!\left[ n+1\right] }{(k+1)!(n-k)!}=\frac{(n+1)! }{(k+1)!(n-k)!}= {n+1 \choose k+1}=P}\)


PS
Sorry, nie znam adekwatnych książek lub skryptów.