Przekształcenie funkcji tworzącej - Sprawdzenie

[Dyskretnie123]

Witam. Czy ktoś doświadczony mógłby rzucić okiem na poniższy przykład i ocenić czy zrobiłem go prawidłowo? Pozdrawiam serdecznie!

Zadanie polega na wyznaczeniu postaci jawnej n-tego wyrazu ciągu którego funkcja tworząca jest taka:
\(\displaystyle{ B(x) = \frac{1}{ (1-3x+2x ^{2} ) }}\)

Po rozbiciu na ułamku proste otrzymałem:
\(\displaystyle{ F(x) = \frac{-2}{(2x-1)} + \frac{1}{(x-1)}}\)
Kontynuacja:
\(\displaystyle{ \frac{1}{( \frac{1}{2} -x)} - \frac{1}{(1-x)} = 2 \cdot \frac{1}{(1-2x)} - \frac{1}{(1-x)}
= 2 \cdot \sum_{n=0}^{ \infty } 2^{n}x^{n} - \sum_{n=0}^{ \infty } x^{n}}\)

I końcówka:
\(\displaystyle{ B(x) = \sum_{n=0}^{ \infty }(2 \cdot 2^{n} - 1 )x ^{n}}\)
Wzór ostateczny (pytanie czy prawidłowy?):
\(\displaystyle{ b_{n}= 2 \cdot 2 ^{n} -1}\)

Pozdrawiam serdecznie!

[Premislav]

Jest dobrze, tylko mnie się nie chciało sprawdzać Twoich rachunków, więc po prostu znalazłem funkcję tworzącą podanego przez Ciebie ciągu i jest to:
\(\displaystyle{ 2 \sum_{n=0}^{+\infty} (2x)^n- \sum_{n=0}^{+\infty} x^n=\\=\frac{2}{1-2x}-\frac{1}{1-x}=\\=\frac{1}{2x^2-3x+1}}\), czyli OK (oczywiście funkcja tworząca jednoznacznie wyznacza ciąg i na odwrót).

[Dyskretnie123]

Witam ponownie
Mam jeszcze taki przykład. Teraz chodzi o wyznaczenie funkcji tworzącej takiego ciągu:
\(\displaystyle{ c_{n}= 4n + 2}\)
Zrobiłem to w ten sposób:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }(4n+2)x ^{n} = 2\sum_{n=0}^{ \infty }(2n+1)x ^{n}
= 2 \sum_{n=0}^{ \infty }2nx^{n} + 2 \sum_{n=0}^{ \infty }x^{n}
= 4 \sum_{n=0}^{ \infty } nx^{n} + 2 \sum_{n=0}^{ \infty } x^{n}
= 4 ( \frac{1}{(1-x)^{2}} - \frac{1}{(1-x)} ) + 2 * \frac{1}{1-x}= \frac{4}{(1-x)^{2}} - \frac{2}{(1-x)}}\)

Czy jest dobrze? Pozdrawiam!

[Premislav]

Ale funkcją tworzącą
dla \(\displaystyle{ d_n=n}\) jest \(\displaystyle{ \frac{x}{(1-x)^2}}\), a nie \(\displaystyle{ \frac{1}{(1-x)^2}}\)…
Dla \(\displaystyle{ |x|<1}\) mamy

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}nx^n= \sum_{n=1}^{\infty}nx^n=\\= \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{k=1}^{n}x^n= \sum_{k=1}^{\infty} \sum_{n=k}^{\infty}x^n=\\= \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{1-x}=\frac{1}{1-x} \sum_{k=1}^{\infty}x^k=\\= \frac{x}{(1-x)^2}}\)

[Dyskretnie123]

Dzięki za odpowiedź. Twoja odpowiedź pokrywa się z moją: ciąg \(\displaystyle{ a_{n}=n}\) to różnicą pomiędzy ciągiem \(\displaystyle{ a_{n+1}}\) a ciągiem jedynek.
\(\displaystyle{ \frac{1}{(1-x) ^{2} } - \frac{1(1-x)}{(1-x) ^{2} } = \frac{x}{(1-x) ^{2} }}\)
Pozdrawiam