Matematyka.pl

Witam, czy mógłby ktoś pomóc z takim oto zadaniem
Ile zer ma na końcu liczba \(\displaystyle{ 100!}\) ?

mógłbyś wytłumaczyć dlaczego tak i czy ewentualnie da się to jakoś rozpisać?

Będzie tyle zer ile jest 5 (bo 2 będzie znacznie więcej) w rozkładzie tego iloczynu na czynniki pierwsze.
Po jednej piątce jest w czynnikach \(\displaystyle{ 5,10,15,20,30,35,40,45,55,60,65,70,80,85,90,95}\) ,
a po dwie piątki w \(\displaystyle{ 25,50,75,100}\).


PS
Proponuję policzyć iloma zerami kończy się dziesiętny zapis liczby \(\displaystyle{ 2018!}\)

Próbowałem to rozpisywać w ten sposób:
\(\displaystyle{ 10 \cdot 20 \cdot 30 \cdot 40 \cdot 50 \cdot 60 \cdot 70 \cdot 80 \cdot 90 \cdot 100}\), czyli będzie 11 zer, no i poźniej, żeby liczba kończyła się zerem to należy mnozyć liczbę parzystą przez liczbę z 5 na końcu, czyli:
\(\displaystyle{ 2 \cdot 5=10\\
4 \cdot 25=100\\
6 \cdot 15=90 \\
....}\)
itd, czy jest to poprawne rozumowanie?

Poprawne. Minusem jest nadmiar obliczeń.

Ilość zer dla \(\displaystyle{ 2018!}\) wynosi: \(\displaystyle{ \left\lfloor \frac{2018}{5} \right\rfloor+\left\lfloor \frac{2018}{25} \right\rfloor+\left\lfloor \frac{2018}{125} \right\rfloor+\left\lfloor \frac{2018}{625} \right\rfloor}\)

Próbowałem to rozpisywać w ten sposób:
\(\displaystyle{ 10 \cdot 20 \cdot 30 \cdot 40 \cdot 50 \cdot 60 \cdot 70 \cdot 80 \cdot 90 \cdot 100}\), czyli będzie \(\displaystyle{ 11}\) zer, no i poźniej, żeby liczba kończyła się zerem to należy mnozyć liczbę parzystą przez liczbę z \(\displaystyle{ 5}\) na końcu, czyli:
\(\displaystyle{ 2 \cdot 5=10\\
4 \cdot 25=100\\
6 \cdot 15=90}\)
....
itd, czy jest to poprawne rozumowanie?
Ale kończąc wychodzi tak :
\(\displaystyle{ 8 \cdot 75=600, \\
12 \cdot 35=420, \\
14 \cdot 45=630, \\
16 \cdot 55=880,\\
18 \cdot 65=1170,\\
22 \cdot 85=1870, \\
24 \cdot 95=2280}\)
I mam \(\displaystyle{ 12}\) zer czyli razem \(\displaystyle{ 12+11=23}\) a ma być \(\displaystyle{ 24}\) gdzies robię błąd..

Zapominasz że \(\displaystyle{ 50=5 \cdot 5 \cdot 2}\).

no ale już mam \(\displaystyle{ 2 \cdot 5}\) to czemu jeszcze \(\displaystyle{ 5 \cdot 5 \cdot 2}\)

Bo liczba 50 pomnożona przez liczbę parzystą da kolejne zero (to którego Ci brakuje) na końcu wyniku.

Jak sugerowałem już wcześniej, znacznie lepiej jest zliczać piątki, występujące w rozkładzie na czynniki pierwsze, niż dziesiątki.