Mam funkcję tworzącą
\(\displaystyle{ A(x)= \frac{7x^{2}}{1-x-6x^{2}}}\)
i muszę wyznaczyć wzór jawny na \(\displaystyle{ a_n}\)
Jak się ogólnie liczy takie funkcje, gdzie stopień licznika jest większy lub równy od stopnia mianownika?
Funkcja tworząca
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Funkcja tworząca
Dzielenie wielomianów (np. pisemne), a potem standardowo rozkład na ułamki proste.
Jak się zdaje mamy coś takiego:
\(\displaystyle{ \frac{7x^{2}}{1-x-6x^{2}}= \frac{-\frac 7 6\left( -6x^2-x+1\right)-\frac 7 6 x+\frac 7 6 }{1-x-6x^2}=\\=-\frac 7 6-\frac 7 6 \frac{1-x}{\left( x-\frac 1 3\right)\left( x+\frac 1 2\right) }=\\=-\frac 7 6-\frac 7 6 \cdot \frac{-\frac 9 5\left( x-\frac 1 3\right) +\frac 4 5\left( x+\frac 1 2\right) }{\left( x-\frac 1 3\right) \left( x+\frac 1 2\right) }=\\=-\frac 7 6+\frac{21}{10}\cdot \frac{1}{x+\frac 1 2}-\frac{14}{15} \cdot \frac{1}{x-\frac 1 3}}\)
Dalej przekształć te ułamki tak, aby móc skorzystać
z \(\displaystyle{ \frac{1}{1-ax}= \sum_{n=0}^{ \infty } a^n x^n, \ a\neq 0, \ |x|<\frac 1{ |a|}}\)
Ja tego za Ciebie nie zrobię.
Jak się zdaje mamy coś takiego:
\(\displaystyle{ \frac{7x^{2}}{1-x-6x^{2}}= \frac{-\frac 7 6\left( -6x^2-x+1\right)-\frac 7 6 x+\frac 7 6 }{1-x-6x^2}=\\=-\frac 7 6-\frac 7 6 \frac{1-x}{\left( x-\frac 1 3\right)\left( x+\frac 1 2\right) }=\\=-\frac 7 6-\frac 7 6 \cdot \frac{-\frac 9 5\left( x-\frac 1 3\right) +\frac 4 5\left( x+\frac 1 2\right) }{\left( x-\frac 1 3\right) \left( x+\frac 1 2\right) }=\\=-\frac 7 6+\frac{21}{10}\cdot \frac{1}{x+\frac 1 2}-\frac{14}{15} \cdot \frac{1}{x-\frac 1 3}}\)
Dalej przekształć te ułamki tak, aby móc skorzystać
z \(\displaystyle{ \frac{1}{1-ax}= \sum_{n=0}^{ \infty } a^n x^n, \ a\neq 0, \ |x|<\frac 1{ |a|}}\)
Ja tego za Ciebie nie zrobię.