Zmiana indeksowania sumy szeregu

[Euler41]

Jeżeli mamy \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} {n-1 \choose k-1}}\) i chcielibyśmy zmienić, żeby suma była od \(\displaystyle{ k=0}\) to jak powinno zachować się to co jest pod sumą?

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} \left( \dots \right)}\)

Wiem, że powinno wyjść:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n-1 \choose k}}\), tylko nie bardzo rozumiem czemu.

[janusz47]

Bo zero w pierwszym symbolu Newtona uzyskujemy dla \(\displaystyle{ k = 1,}\) a w drugim dla \(\displaystyle{ k=0.}\)

[Euler41]

Hmm, czyli de facto wystarczy podstawić za \(\displaystyle{ k}\) -> \(\displaystyle{ k+1}\)?

[janusz47]

Tak, do pierwszego szeregu.

[a4karo]

Tak, do pierwszego szeregu.

To nie jest szereg, tylko skończona suma. Poza tym musisz zadbać o górny wskaźnik sumowania.

W oryginalnej sumie masz \(\displaystyle{ n-1}\),składników, a w nowej \(\displaystyle{ n}\). To powinno Cię zastanowić.

[Euler41]

Poza tym musisz zadbać o górny wskaźnik sumowania.

W oryginalnej sumie masz \(\displaystyle{ n-1}\),składników, a w nowej \(\displaystyle{ n}\).

Czyli:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} {n-1 \choose k-1} = \sum_{k=0}^{n} {n-1 \choose k}}\)
Nie jest prawdą?

[Benny01]

Nie jest. Co będzie dla \(\displaystyle{ k=n}\)?

[Euler41]

Lipa będzie.

Trzeba więc zrobić:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} {n-1 \choose k-1} = \sum_{k=0}^{n-1} {n-1 \choose k}}\)?

[Benny01]

Dokładnie.

[Jakbog]

Czyli:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} {n-1 \choose k-1} = \sum_{k=0}^{n} {n-1 \choose k}}\)
Nie jest prawdą?

Akurat tutaj jest to prawda, bo \(\displaystyle{ \binom{n-1}{n} = 0}\). Ale na ogół tak nie będzie.