Pomieszanie liczb
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11406
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Pomieszanie liczb
Ile jest permutacji zbioru \(\displaystyle{ \{ 1,.., n \}}\) w których żadne liczby parzyste nie są obok siebie ?
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Re: Pomieszanie liczb
1. Gdy n jest parzyste i nie mniejsze niż 4 to ilość permutacji wynosi \(\displaystyle{ i_1+i_2}\), co wynika z przypadków:
1.1 liczby parzyste i nieparzyste są ułożone przemiennie:
\(\displaystyle{ i_1= 2\left( \frac{n}{2}!\right)^2}\)
1.2 istnieją dwie liczby nieparzyste stojące obok siebie:
\(\displaystyle{ i_2= \left( \frac{n}{2}!\right) { \frac{n}{2} \choose 2}\left( (\frac{n}{2}-1)! \right) \cdot (2!)}\)
2. Gdy n jest nieparzyste i nie mniejsze niż 7 to ilość permutacji wynosi \(\displaystyle{ j_1+j_2+j_3+j_4}\), co wynika z przypadków:
2.1 liczby parzyste i nieparzyste są ułożone przemiennie:
\(\displaystyle{ j_1= \left( \frac{n-1}{2}!\right) \left( \frac{n+1}{2}!\right)}\)
2.2 istnieją dokładnie dwie liczby nieparzyste stojące obok siebie:
\(\displaystyle{ j_2= 2\left( \frac{n-1}{2}!\right) { \frac{n+1}{2} \choose 2}\left( (\frac{n+1}{2}-1)! \right) \cdot (2!)}\)
2.3 istnieją dokładnie trzy liczby nieparzyste stojące obok siebie:
\(\displaystyle{ j_3= \left( \frac{n-1}{2}!\right) { \frac{n+1}{2} \choose 3}\left( (\frac{n+1}{2}-2)! \right) \cdot (3!)}\)
2.4 istnieją dokładnie dwie pary liczb nieparzystych stojących obok siebie:
\(\displaystyle{ j_4= \left( \frac{n-1}{2}!\right) { \frac{n+1}{2} \choose 2}{ \frac{n+1}{2}-2 \choose 2}\left( (\frac{n+1}{2}-2)! \right) \cdot (2!)^2}\)
Dla \(\displaystyle{ n=2}\) są \(\displaystyle{ 2}\) permutacje (nie istnieje wtedy ustawienie 1.2), dla \(\displaystyle{ n=3}\) jest \(\displaystyle{ 6}\) permutacji (nie istnieją wtedy ustawienia 2.3 oraz 2.4 ), a dla \(\displaystyle{ n=5}\) jest ich \(\displaystyle{ 72}\) (tu nie istnieje ustawienie 2.4 )
1.1 liczby parzyste i nieparzyste są ułożone przemiennie:
\(\displaystyle{ i_1= 2\left( \frac{n}{2}!\right)^2}\)
1.2 istnieją dwie liczby nieparzyste stojące obok siebie:
\(\displaystyle{ i_2= \left( \frac{n}{2}!\right) { \frac{n}{2} \choose 2}\left( (\frac{n}{2}-1)! \right) \cdot (2!)}\)
2. Gdy n jest nieparzyste i nie mniejsze niż 7 to ilość permutacji wynosi \(\displaystyle{ j_1+j_2+j_3+j_4}\), co wynika z przypadków:
2.1 liczby parzyste i nieparzyste są ułożone przemiennie:
\(\displaystyle{ j_1= \left( \frac{n-1}{2}!\right) \left( \frac{n+1}{2}!\right)}\)
2.2 istnieją dokładnie dwie liczby nieparzyste stojące obok siebie:
\(\displaystyle{ j_2= 2\left( \frac{n-1}{2}!\right) { \frac{n+1}{2} \choose 2}\left( (\frac{n+1}{2}-1)! \right) \cdot (2!)}\)
2.3 istnieją dokładnie trzy liczby nieparzyste stojące obok siebie:
\(\displaystyle{ j_3= \left( \frac{n-1}{2}!\right) { \frac{n+1}{2} \choose 3}\left( (\frac{n+1}{2}-2)! \right) \cdot (3!)}\)
2.4 istnieją dokładnie dwie pary liczb nieparzystych stojących obok siebie:
\(\displaystyle{ j_4= \left( \frac{n-1}{2}!\right) { \frac{n+1}{2} \choose 2}{ \frac{n+1}{2}-2 \choose 2}\left( (\frac{n+1}{2}-2)! \right) \cdot (2!)^2}\)
Dla \(\displaystyle{ n=2}\) są \(\displaystyle{ 2}\) permutacje (nie istnieje wtedy ustawienie 1.2), dla \(\displaystyle{ n=3}\) jest \(\displaystyle{ 6}\) permutacji (nie istnieją wtedy ustawienia 2.3 oraz 2.4 ), a dla \(\displaystyle{ n=5}\) jest ich \(\displaystyle{ 72}\) (tu nie istnieje ustawienie 2.4 )