Wyznaczanie współczynników z funkcji tworzącej

[gokuruto]

Witam mam problem z zadaniem w którym należy wyznaczyć ciąg współczynników \(\displaystyle{ a_{n}_{n \ge 0}}\) na podstawie funkcji tworzącej \(\displaystyle{ A(z)= \frac{1}{(1-z^2)^2}}\) poprosiłbym o wytłumaczenie jak rozwiazywać tego typu zadania.

[Premislav]

Mamy
\(\displaystyle{ \frac{1}{(1-t)^2}= \sum_{n=0}^{+\infty}(n+1)t^n}\)
co wynika np. ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego i różniczkowania szeregu potęgowego wyraz po wyrazie wewnątrz przedziału zbieżności.

Podstawiając \(\displaystyle{ t=z^2}\) w powyższym, otrzymujemy (dla \(\displaystyle{ |z^2|<1}\), czyli \(\displaystyle{ |z|<1}\))
\(\displaystyle{ \frac{1}{(1-z^2)^2}= \sum_{n=0}^{+\infty}(n+1)z^{2n}}\)

czyli
\(\displaystyle{ a_n= \begin{cases} \frac n 2+1 \text{ gdy } 2|n \\ 0 \text{ gdy } 2\nmid n \end{cases}}\)

[gokuruto]

A co sie zmieni w takim przypadku \(\displaystyle{ A(z)= \frac{1}{(1-2z^2)^2}}\)?

[Janusz Tracz]

Nic oprócz podstawienia \(\displaystyle{ t=2z^2}\) co objawi się mnożeniem parzystych współczynników przez dodatkowe \(\displaystyle{ 2^n}\)