Rozwiąż rekursję

[yolanty]

T(n)=\(\displaystyle{ \begin{cases} 1, n=0 \\ 2T(n-1)+(-1)^{n}, n>0 \end{cases}}\).
I dalej zrobiłem \(\displaystyle{ T(n)=2^{n}+ \sum_{j=1}^{n} 2^{n-j}*(-1)^{j}}\)
Nie wiem co dalej.

[Premislav]

Bo kiedy nie ma miłości, co dalej, co dalej? Tak mało nam zostaje, prawie nic…
A nie, to nie to.

Nie wiem, z jakiego wzoru skorzystałeś, ale pokażę, jak do tego można dojść (oczywiście to pewnie jedna z wielu opcji):
niech \(\displaystyle{ n}\) będzie jakieś w miarę duże dodatnie (\(\displaystyle{ n\ge 4}\) powiedzmy), żeby zapis z kropkami (który lepiej pokazuje ideę) się nie psuł.
\(\displaystyle{ T(n)=\\=(T(n)-2T(n-1))+2(T(n-1)-2T(n-2))+\ldots+2^{n-1}T(1)-2^nT(0)+2^nT(0)}\)
i teraz korzystamy z:
\(\displaystyle{ T(k)-2T(k-1)=(-1)^k, \ k\in 1, \ldots n}\)
co właśnie daje nam
\(\displaystyle{ T(n)=2^nT(0)+ \sum_{i=0}^{n-1}2^i(-1)^{n-i}=\\=2^n+(-1)^n \sum_{i=0}^{n-1}(-2)^i}\)
a tam na końcu mamy jakąś sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego o ilorazie \(\displaystyle{ -2}\) (oczywiście \(\displaystyle{ (-1)^{-1}=-1}\)). Ostatecznie:
\(\displaystyle{ T(n)=2^n+(-1)^n \cdot \frac{1-(-2)^n}{3}}\)