Proszę o pomoc z tym zadaniem. Nie wiem jak mam to wykazać.
Wykaż, że dla \(\displaystyle{ n>1}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ n!< \left( \frac{n+1}{2} \right) ^{n}}\)
Dla \(\displaystyle{ n=2}\)
\(\displaystyle{ 2!< \left( \frac{3}{2} \right) ^{2} \\
2!< \frac{9}{4}}\)
\(\displaystyle{ Z:}\) Dla \(\displaystyle{ n=k}\)
\(\displaystyle{ k!< \left( \frac{k+1}{2} \right) ^{k}}\)
\(\displaystyle{ T:}\) Dla \(\displaystyle{ n=k+1}\)
\(\displaystyle{ \left( k+1 \right) !< \left( \frac{k+2}{2} \right) ^{k+1}}\)
Nierówność z silnią - indkukcja
-
Scoler
- Użytkownik
- Posty: 41
- Rejestracja: 16 paź 2017, o 11:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 13 razy
Nierówność z silnią - indkukcja
Ostatnio zmieniony 13 cze 2018, o 08:46 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Nierówność z silnią - indkukcja
Tę nierówność prościej można udowodnić
szacując \(\displaystyle{ k(n-k+1) \le \left( \frac{k+(n-k+1)}{2} \right)^2}\), wymnażając to dla \(\displaystyle{ k=1\ldots n}\) i pierwiastkując stronami.
Ale nie o tej metodzie mowa:
w kroku indukcyjnym
\(\displaystyle{ \left( \frac{k+2}{2}\right)^{k+1}=\\=\left( \frac{k+2}{2}\right) \cdot \left( \frac{k+1}{2}\right)^k \cdot \left( \frac{k+2}{k+1}\right)^k\ge \\ \ge \left( \frac{k+2}{2}\right) \cdot k! \cdot \left( \frac{k+2}{k+1}\right)^k \ge \\ \ge \frac{k+2}{2} \cdot k! \cdot \left( 1+\frac{k}{k+1}\right)=\\=k!\cdot \frac{(k+2)\left( k+\frac 1 2\right) }{k+1}>\\>k! \cdot \frac{k^2+2k+1}{k+1}=(k+1)!}\)
Pierwsza nierówność wynika z założenia indukcyjnego, druga z dla \(\displaystyle{ x=\frac{1}{k+1}, \ a=k\ge 1}\), a trzecia wynika z tego, że \(\displaystyle{ \frac 1 2 k>0}\) dla \(\displaystyle{ k\in \NN^+}\).
szacując \(\displaystyle{ k(n-k+1) \le \left( \frac{k+(n-k+1)}{2} \right)^2}\), wymnażając to dla \(\displaystyle{ k=1\ldots n}\) i pierwiastkując stronami.
Ale nie o tej metodzie mowa:
w kroku indukcyjnym
\(\displaystyle{ \left( \frac{k+2}{2}\right)^{k+1}=\\=\left( \frac{k+2}{2}\right) \cdot \left( \frac{k+1}{2}\right)^k \cdot \left( \frac{k+2}{k+1}\right)^k\ge \\ \ge \left( \frac{k+2}{2}\right) \cdot k! \cdot \left( \frac{k+2}{k+1}\right)^k \ge \\ \ge \frac{k+2}{2} \cdot k! \cdot \left( 1+\frac{k}{k+1}\right)=\\=k!\cdot \frac{(k+2)\left( k+\frac 1 2\right) }{k+1}>\\>k! \cdot \frac{k^2+2k+1}{k+1}=(k+1)!}\)
Pierwsza nierówność wynika z założenia indukcyjnego, druga z
Kod: Zaznacz cały
https://pl.wikipedia.org/wiki/Nier%C3%B3wno%C5%9B%C4%87_Bernoulliego-
Scoler
- Użytkownik
- Posty: 41
- Rejestracja: 16 paź 2017, o 11:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 13 razy
Nierówność z silnią - indkukcja
Skąd się w tej pierwszej nierówności wzięło \(\displaystyle{ \left(\frac{k+2}{k+1}\right)^{k}}\) ?
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Nierówność z silnią - indkukcja
Wymyśliłem sobie, żeby tak to zapisać:
w liczbach rzeczywistych dodatnich mamy
\(\displaystyle{ (ab)^c=a^c b^c}\)
Tutaj:
\(\displaystyle{ \left( \frac{k+1}{2} \cdot \frac{k+2}{k+1} \right)^k =\left( \frac{k+1}{2}\right)^k \left( \frac{k+2}{k+1}\right)^k}\)
Chodziło o to, aby „wydobyć" w jakiś sposób \(\displaystyle{ \left( \frac{k+1}{2}\right)^k}\),
co umożliwia zastosowanie założenia indukcyjnego.
w liczbach rzeczywistych dodatnich mamy
\(\displaystyle{ (ab)^c=a^c b^c}\)
Tutaj:
\(\displaystyle{ \left( \frac{k+1}{2} \cdot \frac{k+2}{k+1} \right)^k =\left( \frac{k+1}{2}\right)^k \left( \frac{k+2}{k+1}\right)^k}\)
Chodziło o to, aby „wydobyć" w jakiś sposób \(\displaystyle{ \left( \frac{k+1}{2}\right)^k}\),
co umożliwia zastosowanie założenia indukcyjnego.