Postać jawna ciągu zadanego w sposób rekurencyjny

[Scoler]

Wyznacz postać jawną ciągu zadanego w sposób rekurencyjny ( stosując odpowiednie twiedzenie)

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} a_{0} =1\\a_{1}=-3\\a_{n}=6a_{n-1} - 9a_{n-2}, n \ge 2 \end{array}}\)

Proszę o jakieś wskazówki jak się za to zabrać, bo kompletnie nie wiem jak się to robi.

[Premislav]

Jest wiele metod, np. równanie charakterystyczne czy metoda funkcji tworzących.
Można o nich poczytać w wielu wątkach na forum w tym dziale.

Ja podzielę się takim spostrzeżeniem, które działa tutaj, ale nie musi sprawdzić się przy dowolnym przykładzie:
skoro mamy zależność
\(\displaystyle{ a_{n}=6a_{n-1} - 9a_{n-2}}\),
to możemy to inaczej zapisać tak:
\(\displaystyle{ a_n-3a_{n-1}=3a_{n-1}-9a_{n-2}\\a_n-3a_{n-1}=3(a_{n-1}-a_{n-2})}\)
Jeżeli teraz oznaczymy
\(\displaystyle{ b_n=a_n-3a_{n-1}}\), to otrzymaliśmy
\(\displaystyle{ b_n=3b_{n-1}}\) dla \(\displaystyle{ n\ge 2}\),
czyli ciąg \(\displaystyle{ (b_n)}\) jest geometryczny i ma iloraz \(\displaystyle{ 3}\), stąd po obliczeniu
\(\displaystyle{ b_1=a_1-3a_0=-6}\)
łatwo otrzymamy, że \(\displaystyle{ b_n=-6\cdot 3^{n-1}, \ n\ge 1}\)
tj.
\(\displaystyle{ a_n-3a_{n-1}=-2\cdot 3^n}\)
i teraz dla \(\displaystyle{ n\ge 2}\):
\(\displaystyle{ a_n=(a_n-3a_{n-1})+3(a_{n-1}-3a_{n-2})+\ldots +3^{n-1}a_1-3^n a_0+3^n a_0}\)
i dalej łatwo.-- 11 cze 2018, o 18:26 --A jakby co, to tutaj masz całą książkę w PDF o funkcjach tworzących: