Wzajemnie ortogonalne łacińskie kwadraty.

[tangerine11]

Zadanie:

Skonstruuj dwa wzajemnie ortogonalne kwadraty łacińskie rzędu \(\displaystyle{ 8}\).

Biorę wielomian \(\displaystyle{ x^{3}+x+1}\), nierozkładalny, nad nim ciało o współczynnikach w \(\displaystyle{ \ZZ_{2}}\).
Mam elementy: \(\displaystyle{ {0, 1, x, x+1, x^{2}, x^{2}+1, x^{2}+x, x^{2}+x+1}}\).

Wiem, że jest twierdzenie które mówi że taki kwadrat konstruujemy za pomocą wzoru: \(\displaystyle{ a_{ij}=ri+j\pmod{n}}\) (\(\displaystyle{ n}\) jeśli w \(\displaystyle{ \ZZ_{n})}\), wnioskuję że tu modulo wielomian), \(\displaystyle{ r}\) - element odwracalny

Ale szczerze mówiąc nie wiem jak się za to zabrać...
Spróbujmy \(\displaystyle{ r=x}\)
Czyli \(\displaystyle{ a_{11}=1(x)+1\pmod{\mbox{wielomian}}}\) i jakoś nie wiem jak z tego wybrnąć, chyba algebra się kłania