Matematyka dyskretna

[Roozer18]

Prosze o pomoc w dwoch zadaniach

1.z 11 liter można utworzyć 4620 różnych słów 11 literowych. Ile wśród tych liter jest liter jednakowych?

2.Do windy wsiada na parterze 10 piętrowego wieżowca 6 osób.Wszystkie one wysiadają pojedynczo na kolejnych piętrach budynku.Wiedząc, że w ciagu pełnego przejazdu windy wysiądą wszyscy pasażerowie, obliczyć na ile sposobów może sie to wydarzyć

Pozdrawiam

[bartek118]

1. Zauważ, że z \(\displaystyle{ 11}\) liter można ułożyć \(\displaystyle{ 11!}\) słów, jeżeli wszystkie są różne. Jeżeli np. trzy litery są jednakowe, to wynik należy podzielić przez \(\displaystyle{ 3!}\). Zauważ również, że
\(\displaystyle{ 4620 = 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11}\)
Czyli z \(\displaystyle{ 11!}\) zniknęło \(\displaystyle{ 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10}\). W tym rozkładzie występuje liczba \(\displaystyle{ 5}\), więc podzielono wynik przez przynajmniej \(\displaystyle{ 5!}\). Czyli
\(\displaystyle{ 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 = 5! \cdot 2 \cdot 2 \cdot 9 \cdot 2}\)
Dalej - pytanie, jakie silnie można ułożyć z pozostałych liczb; mamy np. \(\displaystyle{ 5! \cdot 2! \cdot 3! \cdot 3!}\). Jednak oznaczałoby to, że wśród \(\displaystyle{ 11}\) liter jest \(\displaystyle{ 5}\) takich samych, \(\displaystyle{ 2}\) takie same, \(\displaystyle{ 3}\) takie same i \(\displaystyle{ 3}\) takie same. Ale \(\displaystyle{ 5+2+3+3 = 13 > 11}\). Musimy zatem szukać innego rozkładu. Z tych liczb można jeszcze ułożyć \(\displaystyle{ 6}\), lecz nie ma siódemki -- zatem w rozkładzie mamy \(\displaystyle{ 6!}\). Czyli
\(\displaystyle{ 6! \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 = 6! \cdot 3! \cdot 2!}\)
Czyli mamy \(\displaystyle{ 6}\) takich samych liter, \(\displaystyle{ 3}\)takie same litery i \(\displaystyle{ 2}\) takie same litery. Mamy \(\displaystyle{ 6+3+2 = 11}\), więc wszystko się zgadza.

[Belf]

Zad 2)

Zadanie jest trochę nieprecyzyjne. Sformułowanie " wysiadają pojedynczo na kolejnych piętrach "
można zinterpretować ,że wysiadaja na sześciu piętrach z rzędu, a więc np. od \(\displaystyle{ 1 \ do \ 6}\) lub od \(\displaystyle{ 2 \ do 7}\) itd.
W takiej sytuacji liczba mozliwych opyszczeń wynosi: \(\displaystyle{ 5 \cdot 6!}\)

Jeśli jednak tak nie jest, to wtedy liczba mozliwych opuszczeń wynosi: \(\displaystyle{ {10 \choose 6}\cdot 6!}\)

[tomashek94]

Panie w tym z windą to \(\displaystyle{ \frac{10!}{4!}}\).

[Belf]

Panie w tym z windą to 10!/4!

A jakie uzasadnienie ?

[tomashek94]

\(\displaystyle{ \frac{n!}{(n-k)!}}\)

\(\displaystyle{ n=10}\) bo tyle pięter
\(\displaystyle{ k=6}\) bo tyle osób wysiada

[tomwanderer]

Panie w tym z windą to 10!/4!

A jakie uzasadnienie ?

Mamy \(\displaystyle{ 10}\) miejsc (parter - \(\displaystyle{ 9}\) piętro), na których stawiamy osoby powiedzmy \(\displaystyle{ A,B,C,D,E,F}\) (6 osób) oraz cztery zera reprezentujące fakt, że na danym piętrze nikt nie wysiadł.
Liczba permutacji \(\displaystyle{ 10}\) elementów, z których \(\displaystyle{ 4}\) są tego samego rodzaju, wynosi \(\displaystyle{ 10!/4!}\).

Albo inaczej: dla każej z osób \(\displaystyle{ A,B,C,D,E,F}\) wybieramy po kolei numer ze zbioru \(\displaystyle{ \{ 0,1,2,...,9\}}\) - najpierw mamy \(\displaystyle{ 10}\) możliwości, następnie \(\displaystyle{ 9,8,7,...}\) więc odpowiedź to \(\displaystyle{ 10\cdot 9\cdot ... \cdot 6 \cdot 5}\) i pozostaje pomnożyć przez \(\displaystyle{ \frac{4!}{4!}}\), aby otrzymać \(\displaystyle{ 10!/4!}\).

Nawiasem mówiąc, Twoja odpowiedź daje to samo, po skróceniu \(\displaystyle{ 6!}\).