Rozsadzić trzy małżeństwa przy okrągłym stole.

[Big_Boss1997]

Na ile różnych sposobów można rozsadzić trzy małżeństwa przy okrągłym stole, tak aby nikt nie siedział obok swojego małżonka? Trzeba korzystać z zasady włączeń i wyłączeń. Zrobiłem tak:

\(\displaystyle{ \frac{6!}{6} - 3 \cdot 2! \cdot 4! + 3 \cdot 2! \cdot 2! \cdot 2! - 2! \cdot 2! \cdot 2!}\).

Ale nie jestem pewien w drugiej połowie rozwiązania.

[tomwanderer]

Powiedzmy, że pary są ponumerowane liczbami \(\displaystyle{ 1,2,3.}\) Ponadto oznaczmy zdarzenia:

\(\displaystyle{ A_i}\) - zdarzenie polegające na tym, że \(\displaystyle{ i-}\)ta para siedzi obok siebie.

Szukamy mocy zbioru \(\displaystyle{ (A_1 \cup A_2 \cup A_3)^c}\) - myślę że to powinno być jasne.

Potrzebujemy znać moc zbioru \(\displaystyle{ A_1 \cup A_2 \cup A_3}\) oraz zbioru powiedzmy \(\displaystyle{ S}\) - wszystkich możliwych ustawień. Wtedy rozwiązaniem będzie wartość \(\displaystyle{ |S|-|A_1 \cup A_2 \cup A_3|}\).

Liczba wszystkich możliwych ustawień wynosi \(\displaystyle{ \frac{6!}{6}}\), więc ta część jest dobrze.

Z zasady włączeń i wyłączeń zachodzi równość:
\(\displaystyle{ |A_1 \cup A_2 \cup A_3| = 3\cdot |A_1| - 3\cdot |A_1 \cap A_2| + |A_1 \cap A_2 \cap A_3|}\).
Oczywiście nie jest to ogólny wzór, lecz wzór uproszczony, wykorzystujący równość mocy zbiorów postaci \(\displaystyle{ A_i}\) oraz \(\displaystyle{ A_i \cap A_j}\) dla \(\displaystyle{ i,j=1,2,3}\) oraz \(\displaystyle{ i<j}\).

Potrzebne wartości wyznaczymy najprościej jak się da, czyli z tzw. zasady mnożenia:

\(\displaystyle{ |A_1| = (6\cdot 2\cdot 4!)/6 = 2\cdot 4!,}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ 6}\) - liczba miejsc dla kobiety z pary nr 1,
\(\displaystyle{ 2}\) - liczba miejsc dla mężczyzny z pary nr 1,
\(\displaystyle{ 4!}\) - liczba możliwych rozsadzeń pozostałych osób.
Całość dzielimy przez 6, ponieważ obrót nie zmienia sąsiadów.

\(\displaystyle{ |A_1 \cap A_2| = (6 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2)/6 = 2\cdot 3\cdot 2 \cdot 2}\),
gdzie:
\(\displaystyle{ 6}\) - liczba miejsc dla kobiety z pary nr 1,
\(\displaystyle{ 2}\) - liczba miejsc dla mężczyzny z pary nr 1,
\(\displaystyle{ 3}\) - liczba możliwości wyboru dwóch miejsc spośród pozostałych czterech miejsc dla pary nr 2, tak aby mężczyzna i kobieta siedzieli obok siebie,
\(\displaystyle{ 2}\) - ponieważ mężczyznę i kobietę z pary nr 2 możemy zamienić miejscami,
\(\displaystyle{ 1}\) - liczba możliwości wyboru dwóch miejsc spośród pozostałych dwóch miejsc dla pary nr 3,
\(\displaystyle{ 2}\) - ponieważ mężczyznę i kobietę z pary nr 3 możemy zamienić miejscami.

\(\displaystyle{ |A_1 \cap A_2 \cap A_3| = (6\cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2)/6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2}\),
gdzie:
\(\displaystyle{ 6}\) - liczba miejsc dla kobiety z pary nr 1,
\(\displaystyle{ 2}\) - liczba miejsc dla mężczyzny z pary nr 1,
\(\displaystyle{ 2}\) - liczba możliwości wyboru dwóch miejsc spośród pozostałych czterech miejsc dla pary nr 2, tak aby mężczyzna i kobieta siedzieli obok siebie oraz dodatkowo pozostałe 2 wolne miejsca były sąsiednimi miejscami,
\(\displaystyle{ 2}\) - ponieważ mężczyznę i kobietę z pary nr 2 możemy zamienić miejscami,
\(\displaystyle{ 1}\) - liczba możliwości wyboru dwóch miejsc spośród pozostałych dwóch miejsc dla pary nr 3,
\(\displaystyle{ 2}\) - ponieważ mężczyznę i kobietę z pary nr 3 możemy zamienić miejscami.

Podsumowując:

\(\displaystyle{ |A_1 \cup A_2 \cup A_3|^c = |S| - |A_1 \cup A_2 \cup A_3| = 5! - (3\cdot 2\cdot 4! - 3\cdot 2\cdot 3\cdot 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2) = 120 - (144-72+16) = 120 - 88 = 32.}\)

[Big_Boss1997]

tomwanderer, dziękuję za takie dokładne wyjaśnienie!